[论文解读] New cubic self-dual codes of length 54, 60 and 66

Pınar Çomak, Jon-Lark Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于长度为ℓ的二元码与四元码的广义立方构造方法，用于构建二元立方自偶码，应用于长度54、60和66。该方法构造了1个新的[54,27,10]、6个新的[60,30,12]以及50个新的[66,33,12]极值自偶码，显著扩展了已知的极值码族，并推测在这些长度下不存在更多此类码。

ABSTRACT

We study the construction of quasi-cyclic self-dual codes, especially of binary cubic ones. We consider the binary quasi-cyclic codes of length 3\ell with the algebraic approach of [9]. In particular, we improve the previous results by constructing 1 new binary [54, 27, 10], 6 new [60, 30, 12] and 50 new [66, 33, 12] cubic self-dual codes. We conjecture that there exist no more binary cubic self-dual codes with length 54, 60 and 66.

研究动机与目标

• 将长度为54、60和66的极值二元自偶码的分类结果扩展至先前已知结果之外。
• 开发并应用一种结合二元码与四元码的广义立方构造方法，以生成新的自偶码。
• 利用代数与计算技术，研究F₂上长度为54、60和66的立方自偶码的存在性与结构。
• 基于全面的计算搜索，推测在这些长度下不存在更多极值二元立方自偶码。

提出的方法

• 采用文献[9]中的广义立方构造方法，将F₂上的ℓ-准循环码映射为Rℓ-模，其中R = F₂[Y]/(Y^ℓ − 1)。
• 利用ℓ-准循环码与R-线性码之间的一一对应关系，从而在R上应用赫米特对偶性。
• 应用构造C = (C₁ | C₂)，其中C₁为二元[ℓ,k₁,d₁]码，C₂为四元[ℓ,k₂,d₂]码，且满足d(C) ≥ min(3d(C₁), 2d(C₂))。
• 对最小距离施加约束：d(C₁) ≥ 4 且 d(C₂) ≥ 6 或 8，以确保所得[3ℓ, 3ℓ/2, 12]码的最小距离为12。
• 通过计算枚举长度ℓ = 18, 20, 22的自偶二元码与四元码，且具有较大的自同构群大小，以最大化非等价性。
• 应用权生成函数约束（例如，若y¹⁴的系数不能被3整除，则判定为不可行），在完整构造前排除不可能情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义立方构造能否产生长度为54、60和66的新极值自偶码？
• RQ2 通过该方法最多能构造出多少个非等价的极值自偶码（长度为54、60和66）？
• RQ3 在已知结果之外，是否存在长度为54、60和66的极值二元立方自偶码？
• RQ4 哪些权生成函数与自同构群的约束可用于缩小新码的搜索空间？
• RQ5 能否基于计算证据证明或推测这些长度下不存在更多极值自偶码？

主要发现

• 作者构造出1个新的极值二元[54,27,10]自偶码，扩展了此前已知的列表。
• 发现6个新的极值二元[60,30,12]自偶码，均为Type I码且20-准循环码，其自同构群大小分别为3、6、9、12、18、24、30、48和60。
• 构造出50个新的极值二元[66,33,12]自偶码，均为Type I码且22-准循环码，其权生成函数为W₁，α值为6、8–54、56、57、59、60、62、65、68、69、71。
• 所有构造出的[66,33,12]码均具有权生成函数W₁，因为W₂与W₃被可除性条件排除（3 ∤ 18166 + 24α 且 3 ∤ 7990）。
• 作者推测在长度54、60和66下不存在更多极值二元立方自偶码，其依据为全面的计算搜索与结构约束。
• 该构造方法成功生成了最小距离较高（10、12）且自同构群较大的码，证实了其在码枚举中的有效性。