[论文解读] New Estimates for Some Functions Defined Over Primes

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Analytic Number Theory Research被引用 11

一句话总结

本文提出了切比雪夫函数 $\vartheta$ 的新显式界，这些界被用于推导出对素数计数函数 $\pi(x)$、和 $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$、$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$ 以及乘积 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ 的显著改进的上下界估计。主要贡献在于更紧致的误差项，这些误差项增强了现有的显式估计，并带来了关于短区间内素数的新结果。

ABSTRACT

In this paper we first establish new explicit estimates for Chebyshev's $\vartheta$-function. Applying these new estimates, we derive new upper and lower bounds for some functions defined over the prime numbers, for instance the prime counting function $π(x)$, which improve the currently best ones. Furthermore, we use the obtained estimates for the prime counting function to give two new results concerning the existence of prime numbers in short intervals.

研究动机与目标

• 建立切比雪夫函数 $\vartheta(x) = \sum_{p\leq x} \log p$ 的更紧致的显式上下界。
• 利用这些界推导出素数计数函数 $\pi(x)$ 的改进显式估计。
• 改进对素数上求和与乘积的估计，包括 $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$、$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$ 以及 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$。
• 将改进的 $\pi(x)$ 估计应用于证明短区间内素数存在的新结果。

提出的方法

• 使用解析数论技术及黎曼 zeta 函数已知的零点自由区域，推导出 $\vartheta(x)$ 的新显式界。
• 将 $\vartheta(x)$ 的界应用于积分恒等式 $\pi(x) = \frac{\vartheta(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{t \log^2 t} dt$ 以估计 $\pi(x)$。
• 利用关系式 $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p} = \log x + E + \frac{\vartheta(x)-x}{x} - \int_x^\infty \frac{\vartheta(y)-y}{y^2} dy$ 改进对 $\log p/p$ 求和的估计。
• 应用乘积恒等式 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right) = \frac{e^{-\gamma}}{\log x} \exp\left(-\sum_{k=2}^\infty \sum_{p>x} \frac{1}{k p^k}\right)$ 来界定欧拉乘积。
• 使用计算机辅助验证，确认在渐近范围之外的小 $x$ 值上的界。
• 利用科罗博夫、维诺格拉多夫和肖恩费尔德已知的渐近展开式及误差项估计，进一步优化误差项中的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立比现有估计更紧致的 $\vartheta(x)$ 显式界？
• RQ2 改进的 $\vartheta(x)$ 界如何转化为对 $\pi(x)$ 更优的显式估计？
• RQ3 改进的 $\pi(x)$ 估计能否用于证明短区间内素数存在的更强结果？
• RQ4 对 $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$ 等求和与 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ 等乘积的误差项能在多大程度上进一步收紧？
• RQ5 这些改进的界对素数相关函数的有效计算有何影响？

主要发现

• 对所有 $x \geq 19,035,709,163$，有 $\vartheta(x) > x - \frac{0.15x}{\log^3 x}$ 成立，优于以往的显式估计。
• 对所有 $x > 1$，有 $\vartheta(x) < x + \frac{0.15x}{\log^3 x}$ 成立，提供了更紧致的上界估计。
• 对所有 $x \geq 49$，新上界 $\pi(x) < \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{3.15}{\log^2 x} - \cdots - \frac{4585}{\log^6 x}}$ 改进了当前最优已知估计。
• 对所有 $x \geq 19,033,744,403$，新下界 $\pi(x) > \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{2.85}{\log^2 x} - \cdots - \frac{3428.7225}{\log^6 x}}$ 提供了比以往更精确的下界估计。
• 对每个 $x \geq 6,034,256$，存在一个素数 $p$ 使得 $x < p \leq x\left(1 + \frac{0.087}{\log^3 x}\right)$，这改进了伯特兰猜想。
• 对每个 $x > 1$，存在一个素数 $p$ 使得 $x < p \leq x\left(1 + \frac{198.2}{\log^4 x}\right)$，优于早期关于短区间的结论。