[论文解读] New examples of complete Calabi-Yau metrics on $\mathbb{C}^n$ for $n\ge 3$

Ronan J. Conlon, Frédéric Rochon|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文为所有 $ n \geq 3 $ 构造了 $ \mathbb{C}^n $ 上新的完整 Calabi-Yau 度量，这些度量并非等距于平坦度量，表现出欧几里得体积增长，并且在无穷远处具有形如 $ \mathbb{C} \times V_{0,k} $ 的奇异切锥，其中 $ V_{0,k} $ 是一个基于是 Kähler-Einstein Fano 超表面的 Calabi-Yau 切锥。该构造通过将奇异切锥 $ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ 沿变形 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ 进行光滑化，随后在与 $ \mathbb{C}^n $ 共形微分同构的光滑流形上求解复 Monge-Ampère 方程实现。其关键贡献在于，为 Tian 的猜想提供了一个反例：所有在 $ \mathbb{C}^n $ 上具有欧几里得体积增长的 Calabi-Yau 度量必须是平坦的。

ABSTRACT

For each $n\ge 3$, we construct on $\mathbb{C}^n$ examples of complete Calabi-Yau metrics of Euclidean volume growth having a tangent cone at infinity with singular cross-section.

研究动机与目标

• 为反驳 Tian 的猜想，即所有在 $ \mathbb{C}^n $ 上具有欧几里得体积增长的 Calabi-Yau 度量在 $ n \geq 3 $ 时必须是平坦的。
• 构造 $ \mathbb{C}^n $ 上具有欧几里得体积增长和无穷远处奇异切锥的完整 Calabi-Yau 度量的显式例子。
• 证明在同一个复流形 $ \mathbb{C}^n $ 上，同一 Kähler 类中可以存在多个非等距的 Calabi-Yau 度量，其渐近几何结构不同。
• 通过构造具有无穷远处奇异横截面的渐近锥状 Calabi-Yau 度量，扩展对渐近锥状 Calabi-Yau 度量的理解。

提出的方法

• 对 Calabi-Yau 切锥 $ \mathbb{C} \times V_{0,k} $ 进行 $ \mathbb{C}^* $-等变形，其中 $ V_{0,k} $ 是基于是 $ \mathbb{CP}^{n-1} $ 中度数为 $ k $ 的 Kähler-Einstein Fano 超表面 $ F_k $ 的仿射切锥，且满足 $ 2 \leq k \leq n-1 $。
• 通过方程 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ 构造 $ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ 的光滑化 $ W_{\epsilon,k} $，该流形微分同构于 $ \mathbb{C}^n $。
• 将 $ W_{\epsilon,k} $ 紧化为具有两个边界超曲面 $ \mathcal{H}_1 $ 和 $ \mathcal{H}_2 $ 的带角流形 $ \mathcal{W}_{\epsilon,k} $，以模拟度量的渐近行为。
• 在 $ W_{\epsilon,k} $ 上构造一个渐近 Calabi-Yau 度量，其在无穷远处模型为 $ g_{V_{0,k}} \times g_{\mathbb{C}} $ 的乘积度量。
• 应用基于求解复 Monge-Ampère 方程的摄动方法，将渐近 Calabi-Yau 度量变形为真正的 Calabi-Yau 度量。
• 利用具有边缘型奇点的加权 Sobolev 空间上拉普拉斯算子的映射性质，建立 Fredholm 理论并证明线性化算子的可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n \geq 3 $ 时，是否存在非平坦的、具有欧几里得体积增长和无穷远处奇异切锥的完整 Calabi-Yau 度量于 $ \mathbb{C}^n $ 上？
• RQ2 Tian 的猜想是否成立：即所有在 $ \mathbb{C}^n $ 上具有欧几里得体积增长的此类度量在 $ n \geq 3 $ 时必须是平坦的？
• RQ3 在同一个复流形 $ \mathbb{C}^n $ 上，同一 Kähler 类中是否可以存在多个非等距的 Calabi-Yau 度量，其渐近几何结构不同？
• RQ4 在具有 Fano 横截面的奇异 Calabi-Yau 切锥的光滑化上，存在完整 Calabi-Yau 度量的充分必要条件是什么？

主要发现

• 对于每个 $ n \geq 3 $ 及每个度数为 $ k $ 的 Kähler-Einstein Fano 超表面 $ F_k \subset \mathbb{CP}^{n-1} $，其中 $ 2 \leq k \leq n-1 $，在 $ \mathbb{C}^n $ 上存在一个具有欧几里得体积增长和无穷远处切锥 $ \mathbb{C} \times V_{0,k} $ 的完整 Calabi-Yau 度量。
• 这些度量与 $ \mathbb{C}^n $ 上的标准平坦度量不等距，因此为 $ n \geq 3 $ 时的 Tian 猜想提供了反例。
• 该构造依赖于通过方程 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ 对奇异切锥 $ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ 进行光滑化，从而得到一个微分同构于 $ \mathbb{C}^n $ 的流形。
• 该度量的渐近行为被建模为 $ V_{0,k} $ 上的 Calabi-Yau 切锥度量与 $ \mathbb{C} $ 上的欧几里得度量的乘积，且该度量在无穷远处趋于此模型。
• 建立了具有边缘型奇点的加权 Sobolev 空间上拉普拉斯算子的 Fredholm 理论，确保了线性化复 Monge-Ampère 算子的可逆性。
• 结果表明，这些 Calabi-Yau 度量是多初等齐次的，具有离散谱，且拉普拉斯算子的逆属于一类具有受控衰减的边缘伪微分算子。