[论文解读] New family of bound entangled states residing on the boundary of Peres set

Saronath Halder, Manik Banik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文通过无延伸产品基（UPB）构造了在奇数维 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 系统中、参数个数为 $(d-3)/2$ 的束缚纠缠（PPT-BE）态族，表明这些态位于佩雷斯集（PPT态的集合）的边界上。该构造揭示，每个PPT-BE态都是 $(d-1)/2$ 个秩-4极值PPT-BE态的凸组合，形成位于PPT与非PPT态之间的边界上的一個 $(d-3)/2$-单纯形。

ABSTRACT

Bound entangled (BE) states are strange in nature: non-zero amount of free entanglement is required to create them but no free entanglement can be distilled from them under local operations and classical communication (LOCC). Even though usefulness of such states has been shown in several information processing tasks, there exists no simple method to characterize all these states for an arbitrary composite quantum system. Here we present a $(d-3)/2$-parameter family of BE states each with positive partial transpose (PPT). This family of PPT-BE states is introduced by constructing an unextendible product basis (UPB) in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ with $d$ odd and $d\ge 5$. We also provide the `tile structure' corresponding to these UPBs. The range of each such PPT-BE state is contained in a $2(d-1)$ dimensional entangled subspace whereas the associated UPB-subspace is of dimension $(d-1)^2+1$. We further show that each of these PPT-BE states can be written as a convex combination of $(d-1)/2$ number of rank-4 PPT-BE states. Moreover, we prove that these rank-4 PPT-BE states are extreme points of the convex compact set $\mathcal{P}$ of all PPT states in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$, namely the {\it Peres} set. An interesting geometric implication of our result is that the convex hull of these rank-4 PPT-BE extreme points -- the $(d-3)/2$-simplex -- is sitting on the boundary between the set $\mathcal{P}$ and the set of non-PPT states. We also discuss consequences of our construction in the context of quantum state discrimination by LOCC.

研究动机与目标

• 在高维系统中系统构造具有正偏移分拆（PPT）的束缚纠缠态的连续族。
• 表征这些PPT-BE态在所有PPT态的凸集（$\mathcal{P}$）内的几何结构。
• 将秩-4 PPT-BE态识别为 $\mathcal{P}$ 的极点，从而阐明佩雷斯集的边界结构。
• 探讨该构造对局部量子态鉴别和纠缠 distillation 的影响。

提出的方法

• 在 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 中构造奇数 $d \geq 5$ 的无延伸产品基（UPB），以生成PPT-BE态族。
• 定义一种“拼图结构”以可视化和分析希尔伯特空间中UPB元素的几何排列。
• 证明每个PPT-BE态的范围位于一个 $2(d-1)$-维纠缠子空间内，而UPB子空间的维数为 $(d-1)^2 + 1$。
• 证明该族中每个PPT-BE态均可表示为 $(d-1)/2$ 个秩-4 PPT-BE态的凸组合。
• 确立这些秩-4 PPT-BE态是 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 中所有PPT态的凸紧集 $\mathcal{P}$ 的极点。
• 表明这些极点的凸包形成一个位于 $\mathcal{P}$ 与非PPT态集合之间的边界上的 $(d-3)/2$-单纯形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过UPB在高维系统中系统地构造出PPT束缚纠缠态的连续族？
• RQ2 这些PPT-BE态在所有PPT态的凸集（即佩雷斯集）中的几何角色是什么？
• RQ3 该族中的秩-4 PPT-BE态是否为集合 $\mathcal{P}$ 的极点？
• RQ4 这些极点的凸包如何与佩雷斯集的边界结构相关？
• RQ5 该构造对LOCC下量子态的局部鉴别有何影响？

主要发现

• 该论文通过UPB构造，在奇数 $d \geq 5$ 的 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 中构建了一个 $(d-3)/2$-参数的PPT-BE态族。
• 每个PPT-BE态的范围包含于一个 $2(d-1)$-维纠缠子空间中，而相应的UPB子空间维数为 $(d-1)^2 + 1$。
• 该族中所有态均可表示为 $(d-1)/2$ 个秩-4 PPT-BE态的凸组合。
• 这些秩-4 PPT-BE态被证明是 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 中所有PPT态的凸紧集 $\mathcal{P}$ 的极点。
• 这些极点的凸包形成一个位于 $\mathcal{P}$ 与非PPT态集合之间的边界的 $(d-3)/2$-单纯形。
• 该构造为理解佩雷斯集的边界结构提供了几何框架，并对LOCC态鉴别具有重要意义。