[论文解读] New formulation of the compressible Navier-Stokes equations and parabolicity of the density

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 19

一句话总结

本文提出了一种可压缩纳维-斯托克斯方程的新公式，采用有效速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $，揭示了密度 $ \rho $ 和涡度 $ \text{curl}\,v $ 满足抛物型方程，而散度 $ \text{div}\,v $ 满足输运方程。在代数粘性关系 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ 下，作者证明了在临界齐次Besov空间 $ B^{N/p}_{p,1} $ 中大初值强解的存在性，建立了对密度的显著正则化效应。

ABSTRACT

In this paper we give a new formulation of the compressible Navier-Stokes by introducing an suitable effective velocity $v=u+ \va(ρ)$ provided that the viscosity coefficients verify the algebraic relation of \cite{BD}. We give in particular a very simple proof of the entropy discovered in \cite{BD}, in addition our argument show why the algebraic relation of \cite{BD} appears naturally. More precisely the system reads in a very surprising way as two parabolic equation on the density $ρ$ and the vorticity ${ m curl}v$, and as a transport equation on the divergence ${ m div}v$. We show the existence of strong solution with large initial data in finite time when $(ρ_0-1)\in B^{\NN}_{p,1}$. A remarkable feature of this solution is the regularizing effects on the density. We extend this result to the case of global strong solution with small initial data.

研究动机与目标

• 通过引入有效速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ 重新表述可压缩纳维-斯托克斯方程，以揭示隐藏的抛物型结构。
• 阐明代数粘性关系 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ 如何从系统结构中自然出现。
• 在临界Besov空间 $ B^{N/p}_{p,1} $ 中，利用密度的正则化效应，建立大初值强解的存在性。
• 在初值较小的条件下，将结果推广至全局强解。

提出的方法

• 引入有效速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $，其中 $ \varphi'(\rho) = 2\mu'(\rho)/\rho $，将原系统转化为新形式。
• 推导出新系统，其中 $ \rho $ 和 $ \text{curl}\,v $ 满足抛物型方程，而 $ \text{div}\,v $ 满足输运方程。
• 对动量方程施加 $ \text{div} $ 和 $ \text{curl} $ 算子，将系统解耦为 $ \text{div}\,v $、$ \text{curl}\,v $ 和 $ \rho $ 的方程。
• 利用代数粘性条件 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ 消去低阶项并简化系统。
• 应用能量估计与Besov空间中的抛物型正则性，控制非线性项并建立解的存在性。
• 通过将动量方程乘以 $ v $ 导出熵恒等式，自然地恢复了文献[3]中的已知熵，验证了公式的自洽性与物理合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入有效速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ 如何揭示可压缩纳维-斯托克斯方程中的抛物型结构？
• RQ2 为何代数粘性关系 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ 在此公式中自然出现？
• RQ3 当初始数据满足 $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ 时，强解的正则性与存在性行为如何？
• RQ4 能否利用 $ \rho $ 和 $ \text{curl}\,v $ 的抛物型性质，证明强于原始公式的正则化效应？
• RQ5 在此新公式下，小初值的全局存在性区域为何？

主要发现

• 在有效速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ 下，系统被重写为 $ \rho $ 和 $ \text{curl}\,v $ 的两个抛物型方程，以及 $ \text{div}\,v $ 的一个输运方程。
• 代数粘性关系 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ 被证明是消除低阶项并实现抛物型结构所必需且自然的。
• 对于满足 $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ 的小初值，强解在全局时间内存在，扩展了局部存在性结果。
• 对于满足 $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ 的大初值，证明了有限时间内强解的存在性。
• 由于密度 $ \rho $ 的抛物型演化，其表现出显著的正则化效应，这是新公式的结构性优势所在。
• 通过将动量方程乘以 $ v $，自然地恢复了文献[3]中的熵恒等式，确认了公式的自洽性与物理相关性。