[论文解读] New inequalities involving the Geometric-Arithmetic index

José M. Rodrı́guez, Juan A. Rodríguez‐Velázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Graph theory and applications参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了涉及几何-算术指数 $GA_1$ 的新不等式，该指数是化学中定量构效关系和构性关系研究中使用的拓扑指数。通过应用柯西-施瓦茨不等式并分析基于度的图不变量，作者推导出以修正的 Narumi-Katayama 指数和幂和表示的 $GA_1$ 的更紧致界，证明当且仅当图是正则图时等式成立。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple connected graph and $d_i$ be the degree of its $i$th vertex. In a recent paper [J. Math. Chem. 46 (2009) 1369-1376] the first geometric-arithmetic index of a graph $G$ was defined as $$GA_1=\sum_{ij\in E}\frac{2 \sqrt{d_i d_j}}{d_i + d_j}.$$ This graph invariant is useful for chemical proposes. The main use of $GA_1$ is for designing so-called quantitative structure-activity relations and quantitative structure-property relations. In this paper we obtain new inequalities involving the geometric-arithmetic index $GA_1$ and characterize the graphs which make the inequalities tight. In particular, we improve some known results, generalize other, and we relate $GA_1$ to other well-known topological indices.

研究动机与目标

• 建立涉及几何-算术指数 $GA_1$ 的新、更紧致的不等式。
• 将先前已知的以其他拓扑指数表示的 $GA_1$ 的界进行推广和改进。
• 表征这些不等式成为等式的图，特别关注正则图。
• 将 $GA_1$ 与修正的 Narumi-Katayama 指数及基于幂和的指标 $R_\alpha(G)$ 相关联。
• 通过精炼其理论界，增强 $GA_1$ 在定量构性关系（QSPR）中的预测能力。

提出的方法

• 将柯西-施瓦茨不等式应用于将 $GA_1$ 分解为幂和 $R_\alpha(G)$ 与 $R_{-\alpha}(G)$ 的乘积。
• 利用引理 2.6，根据顶点度的极值 $\delta$ 和 $\Delta$ 来界定比值 $\frac{2\sqrt{d_ud_v}}{d_u + d_v}$。
• 引入修正的 Narumi-Katayama 指数 $NK^*(G) = \prod_{u \in V(G)} d_u^{d_u}$ 作为关键结构参数。
• 通过 AM-GM 不等式，推导出以 $R_\alpha(G)$ 和 $NK^*(G)^{\alpha/m}$ 表示的 $GA_1$ 的界。
• 通过度的均匀性分析极值情形，以表征等式成立的条件。
• 将先前仅针对 $\alpha = 1$ 的界推广至任意 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$，并分别处理 $\alpha \leq -1/2$ 和 $\alpha \geq -1/2$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过幂平均和柯西-施瓦茨技术推导出 $GA_1$ 的新不等式？
• RQ2 对 $GA_1$ 的界如何依赖于最小和最大顶点度 $\delta$ 和 $\Delta$？
• RQ3 在何种图条件下，$GA_1$ 的推导不等式取等号？
• RQ4 $GA_1$ 如何与修正的 Narumi-Katayama 指数 $NK^*(G)$ 及幂和 $R_\alpha(G)$ 相关联？
• RQ5 能否通过统一参数 $\alpha$ 推广并改进现有的 $GA_1$ 界？

主要发现

• 本文推导出不等式 $GA_1(G) \leq \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$，对任意 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ 成立，且当且仅当 $G$ 为正则图时取等号。
• 当 $\alpha \geq 1$ 时，建立了下界 $GA_1(G) \geq \frac{2\Delta^{\alpha-1/2}\delta^{\alpha+1/2}}{\Delta^{2\alpha} + \delta^{2\alpha}} \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$，且仅当图正则时取等号。
• 当 $0 < \alpha \leq 1$ 时，推导出类似的下界，且当且仅当 $G$ 为正则图时取等号。
• 对所有 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$，不等式 $R_\alpha(G) \geq m \cdot NK^*(G)^{\alpha/m}$ 成立，且当且仅当所有边度积 $d_u d_v$ 相等时取等号。
• 推论 2.14 通过引入 $\delta$ 和 $\Delta$，改进了已知的 $GA_1(G)$ 下界，且当且仅当 $G$ 为正则图时取等号。
• 所推导的界推广并紧致化了先前已知的结果，如文献 [29, 定理 4] 中的结果，通过引入参数 $\alpha$ 并精炼了对 $\delta$ 和 $\Delta$ 的依赖关系。