[论文解读] New methods for bounding the number of points on curves over finite fields

Everett W. Howe, Kristin Lauter|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Coding theory and cryptography被引用 12

一句话总结

本文引入了四种新的数论技术，用于界定有限域上曲线的有理点最大数量，显著改进了众多情形下 Nq(g) 的已知上界。通过分析阿贝尔簇的同源类，使用约化结式，并将 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想应用于函数域上常椭圆曲线的 Mordell–Weil 格，作者推导出点数和 Shafarevich–Tate 群阶的精确上界，包括证明了 N4(7) = 21 和 N8(5) = 29。

ABSTRACT

We provide new upper bounds on N_q(g), the maximum number of rational points on a smooth absolutely irreducible genus-g curve over F_q, for many values of q and g. Among other results, we find that N_4(7) = 21 and N_8(5) = 29, and we show that a genus-12 curve over F_2 having 15 rational points must have characteristic polynomial of Frobenius equal to one of three explicitly given possibilities. We also provide sharp upper bounds for the lengths of the shortest vectors in Hermitian lattices of small rank and determinant over the maximal orders of small imaginary quadratic fields of class number 1. Some of our intermediate results can be interpreted in terms of Mordell-Weil lattices of constant elliptic curves over one-dimensional function fields over finite fields. Using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for such elliptic curves, we deduce lower bounds on the orders of certain Shafarevich-Tate groups.

研究动机与目标

• 改进 Nq(g) 的上界，即在 Fq 上光滑且绝对不可约的 g-亏格曲线的有理点最大数量。
• 开发新方法，用于判断有限域上阿贝尔簇的同源类是否不包含曲线的雅可比簇。
• 建立在类数为 1 的虚二次整数环上，对小秩赫米特格的最短非零向量长度的精确上界。
• 将 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想应用于函数域上的常椭圆曲线，以推导 Shafarevich–Tate 群阶的下界。
• 为 F2 上的 12-亏格曲线且具有 15 个有理点的情形，提供特征多项式的确切约束。

提出的方法

• 在涉及阿贝尔簇实韦伊多项式的论证中，引入约化结式而非结式。
• 将关于 En × A 型同源类中不存在雅可比簇的结果，从超奇异 E 推广至任意普通簇 A。
• 当雅可比簇同源于 A × En 时，利用判别式与约化结式，建立从曲线到椭圆曲线的映射的次数上界。
• 设计一种算法，用于计算在类数为 1 的虚二次域最大整环上，小秩赫米特格中非零最短向量长度的精确上界。
• 证明有限域上整个普通同源类的阿贝尔簇可定义于子域的充要条件。
• 利用函数域上常椭圆曲线的 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想，将 Mordell–Weil 格的行列式与 Shafarevich–Tate 群阶联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 (q, g) 对，可利用新的同源类障碍改进已知的 Nq(g) 上界？
• RQ2 在给定 A 与 B 的约化结式性质下，当同源类包含 A × B 时，其为何不包含雅可比簇？
• RQ3 在类数为 1 的虚二次整数环最大整环上，对小秩与行列式赫米特格，最短非零向量长度的最优上界为何？
• RQ4 如何利用 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想，为函数域上的常椭圆曲线推导 Shafarevich–Tate 群阶的下界？
• RQ5 F2 上 12-亏格曲线且具有 15 个有理点的 Frobenius 特征多项式可能有哪些？

主要发现

• 本文证明了 N4(7) = 21，解决了有限域上点计数问题中此前未解决的一个情形。
• 证明了 N8(5) = 29，为 F8 上 5-亏格曲线的有理点最大数量提供了新的精确值。
• 对于 F2 上具有 15 个有理点的 12-亏格曲线，其 Frobenius 的特征多项式必须是三个明确给出的可能形式之一。
• 作者计算了在类数为 1 的虚二次域最大整环上，小秩与行列式赫米特格中非零最短向量长度的精确上界。
• 在 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想下，本文推导出 Shafarevich–Tate 群阶的平方根的显式公式，其以导子、判别式和同源映射次数表示。
• 当整合进 manypoints.org 数据库时，该工作使 2009 年 van der Geer–van der Vlugt 表中超过 16% 的上界得到改进。