[论文解读] New moments criteria for convergence towards normal product/tetilla laws

Ehsan Azmoodeh, Dario Gasbarra|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文在第二 Wiener 与 Wigner 乱序中分别建立了收敛到正态乘积律与 Tetilla 律的新矩准则。证明了分布收敛（及 Wasserstein-2 距离）等价于四阶矩与某一更高偶数阶矩（对某个 r ≥ 3）的收敛，将四阶矩定理推广至非高斯极限。

ABSTRACT

In the framework of classical probability, we consider the normal product distribution $F_\infty \sim N_1 imes N_2$ where $N_1, N_2$ are two independent standard normal random variable, and in the setting of free probability, $F_\infty \sim \left( S_1 S_2 + S_2 S_1 ight)/\sqrt{2}$ known as {\it tetilla law} \cite{d-n}, where $S_1, S_2$ are freely independent normalized semicircular random variables. We provide novel characterization of $F_\infty$ within the second Wiener (Wigner) chaos. More precisely, we show that for any generic element $F$ in the second Wiener (Wigner) chaos with variance one the laws of $F$ and $F_\infty$ match if and only if $μ_4 (F)= 9 \, (\mbox{resp. }φ(F^4)=2.5)$, and $μ_{2r}(F)= ((2r-1)!!)^2 \, (\mbox{resp. }φ(F^{2r})=φ(F^{2r}_\infty ))$ for some $r \ge 3$, where $μ_r (F)$ stands for the $r$th moment of the random variable $F$, and $φ$ is the relevant tracial state. We use our moments characterization to study the non central limit theorems within the second Wiener (Wigner) chaos and the target random variable $F_\infty$. Our results generalize the findings in Nourdin \& Poly \cite{n-p-2w}, Azmoodeh, et. al \cite{a-p-p} in the classical probability, and of Deya \& Nourdin \cite{d-n} in the free probability setting.

研究动机与目标

• 使用高阶矩对第二 Wiener 与 Wigner 乱序中的正态乘积律与 Tetilla 律进行完整表征。
• 将经典与自由四阶矩定理推广至非高斯目标分布，如正态乘积律与 Tetilla 律。
• 为第二乱序中的序列建立 Wasserstein-2 距离下的定量收敛速率。
• 探究在收敛准则中是否可用更高阶偶数矩替代四阶矩。

提出的方法

• 通过 i.i.d. 高斯或半圆随机变量的正交基，推导第二 Wiener 与 Wigner 乱序中元素的谱表示。
• 利用 Malliavin 微积分与累积量展开，将乱序随机变量的矩与其在乱序展开中的系数关联起来。
• 应用 Hardy-Littlewood 不等式对函数重排的估计，推导 Wasserstein 距离关于矩差的上界。
• 建立分布收敛、L^p 收敛、L^2 收敛、Wasserstein-2 距离收敛与特定矩收敛之间的等价性。
• 采用马尔可夫三元组与超收缩性概念，将矩收敛与 L^2 收敛联系起来。
• 证明：对于单位方差的第二乱序中的一列随机变量，其收敛到目标分布当且仅当四阶矩与某一更高偶数阶矩（对 r ≥ 3）收敛到极限分布的对应矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可将收敛到正态分布的四阶矩准则推广至非高斯极限（如正态乘积律与 Tetilla 律）？
• RQ2 四阶矩与某一更高偶数阶矩（对某个 r ≥ 3）的收敛是否足以保证收敛到正态乘积律或 Tetilla 律的分布收敛？
• RQ3 是否可用两个不同的更高偶数阶矩（对不同的 r, s ≥ 3）的收敛替代四阶矩条件，作为收敛准则？
• RQ4 在第二 Wiener 与 Wigner 乱序中，Wasserstein-2 距离收敛与矩收敛之间存在何种关系？
• RQ5 一个乱序随机变量的谱系数如何与其矩及收敛行为相关？

主要发现

• 对于第二 Wiener 乱序中单位方差的序列 {F_n}，其分布收敛到正态乘积律 F_∞ ∼ N₁×N₂ 当且仅当 μ₄(F_n) → 9 且 μ₂ᵣ(F_n) → ((2r−1)!!)² 对某个 r ≥ 3 成立。
• 在自由概率设定下，F_∞ ∼ (S₁S₂ + S₂S₁)/√2 的分布收敛当且仅当 φ(F₄ⁿ) → 2.5 且 φ(F₂ᵣⁿ) → φ(F₂ᵣ∞) 对某个 r ≥ 3 成立。
• Wasserstein-2 距离 d_W₂(F_n, F_∞) → 0 当且仅当分布收敛、L² 收敛，以及系数序列 λ_n 的 ℓ² 范数收敛到 F_∞ 的对应 ℓ² 范数。
• Wasserstein-2 距离被一个常数倍的六阶矩与四阶矩之差的平方根所上界，建立了矩差与距离之间的定量联系。
• 第二 Wiener 乱序的超收缩性保证了 L² 收敛蕴含对所有 p ≥ 1 的 L^p 收敛，支持了 L^p 与 L² 收敛的等价性。
• 提出一个猜想：两个不同的更高偶数阶矩（对 r, s ≥ 3，且 r ≠ s）的收敛足以保证分布收敛，从而可替代四阶矩条件。