[论文解读] New numerical scheme of Atangana-Baleanu fractional integral: an application to groundwater flow within leaky aquifer

Jean‐Daniel Djida, Iván Area+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于Atangana-Baleanu分数阶积分的新型数值格式，该格式基于函数与其Riemann-Liouville分数阶积分的加权平均，通过在非完整含水层中的地下水流动模型进行了验证。该方法通过误差分析和模拟展示了高精度，相较于经典模型，通过Mittag-Leffler核更准确地捕捉了非均质多孔介质中的记忆效应，从而提升了物理现实性。

ABSTRACT

Many physical problems can be described using the integral equations known as Volterra equations. There exists quite a number of analytical methods that can handle these equations for linear cases. For non-linear cases, a numerical scheme is needed to obtain an approximation. Recently a new concept of fractional differentiation was introduced using the Mittag-Leffler function as kernel, and the associate fractional integral was also presented. Up to this point there is no numerical approximation of this new integral in the literature. Therefore, to accommodate researchers working in the field of numerical analysis, we propose in this paper a new numerical scheme for the new fractional integral. To test the accuracy of the new numerical scheme, we first revisit the groundwater model within a leaky aquifer by reverting the time classical derivative with the Atangana-Baleanu fractional derivative in Caputo sense. The new model is solved numerically by using this new scheme.

研究动机与目标

• 开发一种Atangana-Baleanu分数阶积分的数值逼近方法，该方法在现有文献中尚无此类方案。
• 将新提出的数值格式应用于基于Atangana-Baleanu分数阶导数（Caputo意义下）的非完整含水层中地下水流动的建模。
• 通过分数阶地下水流动模型的数值模拟，验证所提方案的精度与收敛性。
• 展示Mittag-Leffler核在捕捉多孔介质中记忆效应与非均质性方面的重要物理意义。

提出的方法

• 基于函数与其Riemann-Liouville分数阶积分的平均值，采用有限差分法对Atangana-Baleanu分数阶积分进行离散化。
• 在时间方向采用半隐式有限差分法，在空间方向采用Galerkin有限元法求解所得的偏微分方程。
• 通过引入由Mittag-Leffler函数导出的系数，构造基于先前时间步函数值的加权和形式的数值格式。
• 通过误差分析建立数值逼近的收敛性与稳定性。
• 通过将经典时间导数替换为Atangana-Baleanu分数阶导数（Caputo意义下），对地下水模型进行重新表述。
• 采用350个等距空间节点及不同时间步长进行模拟，以可视化不同分数阶参数α下的解的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Atangana-Baleanu分数阶积分开发一种稳定且精确的数值格式，而该类近似在现有文献中尚属空白？
• RQ2 与经典模型相比，Atangana-Baleanu导数中的Mittag-Leffler核在模拟非均质、非完整含水层中的地下水流动时，如何提升建模能力？
• RQ3 所提出的Atangana-Baleanu积分数值格式的收敛行为与误差量级如何？
• RQ4 分数阶参数α如何影响非完整含水层模型中地下水流动的动力学行为？
• RQ5 所提出的数值方法是否能够保持地下水流过程记忆效应的物理现实性？

主要发现

• 所提出的Atangana-Baleanu分数阶积分数值格式在误差分析中表现出高精度，结果得到本文证实。
• 模拟结果表明，解随分数阶参数α的不同而呈现不同的演化特征，α = 1/2与α = 9/10在随时间推移下产生明显不同的流动模式。
• 在k=50（后期时间步）时，地下水位的变化比k=0时更为显著，表明解随时间动态演化，与分数阶记忆效应一致。
• Mittag-Leffler核的使用使得在非均质介质中对物理过程的描述比经典幂律核更为自然。
• 数值结果证实了在给定条件下，分数阶地下水模型解的存在性与唯一性。
• 增加空间节点数（如350个）可提高整个区间[0,1]内解的精度。