[论文解读] New p-adic hypergeometric functions and syntomic regulators

Masanori Asakura|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文引入了新的 p-进对数型超几何函数，通过 p-进多伽马函数和超几何级数的积分变换构造而成。建立了类似于 Dwork 的 p-进同余关系，证明了其 p-进收敛性，并表明这些函数的特殊值出现在超几何曲线、费马曲线和椭圆曲线的 syntomic 上同调调节子中，与 p-进 L-函数相联系，符合 p-进 Beilinson 猜想的预测。

ABSTRACT

We introduce new p-adic convergent functions, which we call the p-adic hypergeometric functions of logarithmic type. The first main result is to prove the congruence relations that are similar to Dwork's. The second main result is that the special values of our new functions appear in the syntomic regulators for hypergeometric curves, Fermat curves and some elliptic curves. According to the p-adic Beilinson conjecture by Perrin-Riou, they are expected to be related with the special values of p-adic L-functions. We provide one example for this.

研究动机与目标

• 定义并研究作为 p-进对数变形的新 p-进对数型超几何函数。
• 为这些函数建立类似于 Dwork 经典结果的 p-进同余关系。
• 将这些函数的特殊值与代数曲线上的 syntomic 调节子相联系。
• 验证在 p-进 Beilinson 猜想下，这些值与椭圆曲线和超几何曲线的 p-进 L-值一致，特别是针对椭圆和费马曲线。
• 提供显式例子和猜想，将调节子、特殊值与 p-进 L-函数通过与 p 无关的有理常数相联系。

提出的方法

• 将 p-进多伽马函数 ψp(r)(z) 定义为 Diamond 的 p-进多伽马函数的修正形式。
• 将函数 Gₐ(t) 构造为 p-进多伽马项、欧拉常数 γp、对数项以及差值 Fₐ(t) − Fₐ′(tσ) 的积分变换的组合。
• 将新 p-进超几何函数定义为比值 𝔽ₐ(σ)(t) = Gₐ(t)/Fₐ(t)，当所有 ai = 1 且 c = 1 时，该函数推广了 p-进对数。
• 证明 𝔽ₐ(σ)(t) 满足模 pn 的 p-进同余关系，确保其在 p-进意义下的收敛性。
• 建立 𝔽ₐ(σ)(t) 属于环 ℤp⟨t, h(t)⁻¹⟩，从而在满足 |h(α)|p = 1 的 t = α 处具有良定义的特殊值。
• 利用 syntomic 上同调与调节映射，通过 p-进 Beilinson 猜想将 𝔽ₐ(σ)(t) 的特殊值与曲线的 p-进 L-函数相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 新 p-进对数型超几何函数是否满足类似于经典 p-进超几何函数中 Dwork 同余关系的同余关系？
• RQ2 这些新函数的特殊值能否表示为代数曲线上的 syntomic 上同调中的调节子？
• RQ3 这些特殊值是否与椭圆曲线和超几何曲线的 p-进 L-函数相关，如 p-进 Beilinson 猜想所预测？
• RQ4 哪些有理常数 Cₐ 将这些函数的特殊值与 p-进 L-值联系起来，且是否与 p 无关？
• RQ5 对于哪些有理参数 a，相关的 K₂ 符号为整数，从而保证调节子与 L-函数关系的有效性？

主要发现

• 新 p-进超几何函数 𝔽ₐ(σ)(t) 满足模 pn 的同余关系，确保其在 p-进意义下的收敛性。
• 对于由 3y² = 2x³ − 3x² + 1 − a 定义的椭圆曲线 Xₐ，当 a = 4 时，特殊值 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a) 等于 −1 倍的 p-进 L-值 Lₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0)。
• 对于费马曲线 F₃,₃，特殊值 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1) 与 Lₚ(F₃,₃, ω⁻¹, 0) 成正比，比例常数为与 p 无关的有理常数 C。
• 对于曲线 F₂,₄*，特殊值 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1) 与 Lₚ(F₂,₄*, ω⁻¹, 0) 成正比，比例常数为与 p 无关的有理常数 C′′。
• 当 K₂ 符号为整数时，关系式 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a) = CₐLₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0) 对多种椭圆曲线成立，其中 Cₐ ∈ ℚ× 与 p 无关。
• 本文提供了显式参数族（例如 a = 1/n 且 n ≡ 0,2 mod 6）使得 K₂ 符号为整数，支持了猜想关系的有效性。