[论文解读] New relations between analyticity, Regge trajectories, Veneziano amplitude, and Moebius transformations

Abdur Rahim Choudhary|ArXiv.org|Feb 5, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

本文通过将上半 s 平面经由 Schwarz-Christoffel 和 Riemann-Schwarz 映射函数映射到黎曼球面上的三角形，建立了一个几何框架，将解析性、Regge 轨迹与 Veneziano 振幅联系起来。该框架将 Regge 轨迹在阈值和渐近能量处的取值与三角形的内角关联，揭示了 Regge 函数与 Möbius 变换群生成元之间的直接联系，从而将 Veneziano 模型嵌入更广泛的自守函数理论框架中，对胶子消除与 Pomeranchuk 轨迹具有重要意义。

ABSTRACT

In this paper we use the analyticity properties of the scattering amplitude in the context of the conformal mapping techniques. The Schwarz-Christoffel and Riemann-Schwarz functions are used to map the upper half -plane onto a triangle. We use the known asymptotic and threshold behaviors of the scattering amplitude to establish a connection between the values of the Regge trajectory functions and the angles of the triangle. This geometrical interpretation allows a link between values of the Regge trajectory functions and the generators of the invariance group of Moebius transformations associated with the underlying automorphic function. The formalism provides useful new relations between analyticity, geometry, Regge trajectory functions, Veneziano model, groups of Moebius transformations and automorphic functions. It is hoped that they will provide avenues for further work.

研究动机与目标

• 通过共形映射技术，建立 Veneziano 振幅的几何解释。
• 将 Regge 轨迹函数在物理阈值和渐近能量处的取值与 ω 平面中三角形的内角关联起来。
• 通过自守函数，将散射振幅的解析结构与 Möbius 变换群的生成元联系起来。
• 从共形映射框架中推导出胶子消除条件与 Pomeranchuk 轨迹，作为几何约束。
• 通过 Riemann-Schwarz 三角形函数与超几何表示，将形式化推广至非欧几何时空。

提出的方法

• 使用 Schwarz-Christoffel 与 Riemann-Schwarz 共形映射技术，将上半 s 平面共形映射至 ω 平面中的一个三角形。
• 将不完全欧拉贝塔函数用作映射函数 ω(z)，其参数由三角形的内角 A、B、C 决定。
• 将散射振幅在 z = ∞ 附近的渐近行为与 ω(z) 的行为关联，将指数 C 与 t 通道 Regge 轨迹函数 α(t) 关联。
• 通过 z = 1 附近的阈值行为，将指数 B 与 s 通道 Regge 轨迹函数 α(s) 关联，其中 B = π⁻¹∠DEF。
• 利用欧氏几何中的约束 A + B + C = 1 推导出胶子消除条件与单位截距的 Pomeranchuk 轨迹。
• 当 A + B + C < 1 时，通过 Riemann-Schwarz 三角形函数与超几何表示，将形式化推广至非欧几何时空，对应于具有无限阶生成元的离散 Möbius 群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过共形映射对 Veneziano 振幅的解析性与阈值/渐近行为进行几何解释？
• RQ2 Regge 轨迹函数在物理阈值处的取值与映射后三角形的内角之间存在何种精确关系？
• RQ3 Möbius 不变量群的生成元如何从共形映射的几何结构中自然涌现？
• RQ4 胶子消除条件与 Pomeranchuk 轨迹能否作为该框架中的几何约束推导而出？
• RQ5 自守函数与非欧几何时空在将形式化推广至标准 Veneziano 模型之外时起到何种作用？

主要发现

• 振幅的渐近行为表明，t 通道 Regge 轨迹函数满足 α(t) = 1 − C，其中 C 与 ω 平面中三角形顶点 F 处的角成正比。
• s 通道阈值行为导出 α(s) = 1 − B，其中 B 与顶点 E 处的角成正比，建立了 Regge 函数与三角形几何之间的直接联系。
• 在欧氏几何中，条件 A + B + C = 1 导出胶子消除条件，确保振幅中不存在非物理极点。
• Pomeranchuk 轨迹作为几何约束的自然结果出现，具有单位截距，与振幅在高能下保持有限的要求一致。
• 当 A + B + C < 1（非欧几何时空）时，形式化推广至具有无限阶生成元的离散 Möbius 群，映射函数变为以超几何函数表示的 Riemann-Schwarz 三角形函数。
• Möbius 群的生成元与 Regge 轨迹函数在阈值处的取值相关联，约束其在 s₀ 与 u₀ 处仅取倒数整数值。