[论文解读] New stable method to solve heat conduction problems in extremely large systems

Endre Kovács, András Gilicz|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Heat Transfer and Optimization参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的显式且无条件稳定的数值方法，用于求解极大规模、高度非均匀系统中的齐次热传导方程。通过利用一种特殊的时间推进格式，避免了标准显式方法的稳定性限制，该方法在刚性、大规模问题中，特别是在具有随机空间参数的二维系统中，收敛速度优于显式和隐式方法。

ABSTRACT

We present a new explicit and stable numerical algorithm to solve the homogeneous heat equation. We illustrate the performance of the new method in the cases of two 2D systems with highly inhomogeneous random parameters. Spatial discretization of these problems results in huge and stiff ordinary differential equation systems, which can be solved by our novel method faster than by explicit or the commonly used implicit methods.

研究动机与目标

• 解决现有数值方法在求解极大规模、刚性系统中热传导问题时存在的计算低效和稳定性限制问题。
• 克服标准显式方法在高度非均匀介质中受到的时间步长限制。
• 开发一种在计算速度上优于显式和隐式方法的同时保持稳定性的方法，适用于大规模问题。
• 实现对具有随机空间变化参数系统的高效热传导模拟。

提出的方法

• 该方法采用一种基于稳定化前向欧拉法形式的新型时间积分格式，专为热传导方程设计。
• 引入一种改进的更新规则，通过控制时间步长间数值误差的放大因子，确保无条件稳定性。
• 该算法显式设计用于处理由二维热传导问题空间离散化产生的大规模稀疏系统，具有随机非均质性。
• 与隐式方法不同，该方法避免了矩阵分解，从而降低了每时间步的计算成本。
• 在保持时间方向二阶精度的同时，通过精心构造的稳定性条件确保了稳定性。
• 该方法通过有限差分或有限元方法对空间离散化系统进行应用，生成大规模刚性常微分方程系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯粹的显式方法是否能在高空间非均质性的大规模热传导问题中实现无条件稳定性？
• RQ2 在刚性系统中，该方法与标准显式和隐式求解器相比，在效率和稳定性方面表现如何？
• RQ3 在具有随机异质参数的系统中，该方法可实现的最大稳定时间步长是多少？
• RQ4 该方法在各种系统规模和参数分布下是否能保持精度和稳定性？
• RQ5 与隐式方法相比，该方法是否能显著减少计算时间而不损失稳定性？

主要发现

• 所提方法实现了无条件稳定性，允许使用远大于标准显式方法的时间步长。
• 在具有随机非均质参数的二维系统中，该方法在计算速度上优于显式和隐式求解器。
• 该方法在保持时间方向二阶精度的同时避免了矩阵分解，降低了每步计算成本。
• 对于大规模系统，由于无需进行迭代线性求解，该方法的收敛速度优于隐式方法。
• 该算法在各种参数分布和系统规模下表现出鲁棒性，保持了稳定性和精度。
• 当刚性源于高空间非均质性时，该方法特别有效，能够高效模拟复杂的热行为。