[论文解读] Newton-Okounkov bodies and Toric Degenerations of Mori dream spaces via Tropical compactifications

Elisa Postinghel, Stefano Urbinati|Institutional Research Information System (University of Udine)|Dec 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文建立了光滑 Mori dream 空间（MDS）上热带几何与 Newton-Okounkov 体之间的联系，表明将 MDS 嵌入一个 toric 空间后其 tropicalization 会生成一个普遍模型，该模型支配所有小 Q-因子化修改。该构造为 Newton-Okounkov 体提供了 Minkowski 基，证明了全局 Newton-Okounkov 体是 rational polyhedron，并通过值半群的有限生成性实现了 toric degenerations。

ABSTRACT

Given a smooth Mori dream space $X$ we construct a model dominating all the small $\mathbb{Q}$-factorial modifications via tropicalization. This construction allows us to recover a Minkowski basis for the Newton-Okounkov bodies of divisors on $X$ and hence the movable cone of $X$. The existence of such basis allows us to prove the polyhedrality of the global Newton-Okounkov body and the existence of toric degenerations.

研究动机与目标

• 将热带几何与 Mori dream 空间上的 Newton-Okounkov 体联系起来。
• 通过 tropicalization 构造一个普遍模型，支配光滑 MDS 的所有小 Q-因子化修改。
• 利用 Newton-Okounkov 体的 Minkowski 基恢复 MDS 的移动锥。
• 证明全局 Newton-Okounkov 体是 rational polyhedral，并可实现 toric degenerations。
• 正面回答 Lazarsfeld 和 Mustaìta 关于全局 Newton-Okounkov 体多面性的疑问。

提出的方法

• 对光滑 MDS $X$ 在其周围 toric 空间 $Z$ 的稠密 torus $T$ 上的限制进行 tropicalization，得到 ${\rm Trop}(X|_T)$。
• 构造一个模型 $\overline{X} \to X$，其嵌入于一个 fan 支撑在 ${\rm Trop}(X|_T)$ 上的 toric 空间 $\overline{Z}$ 中，该模型支配所有小 Q-因子化修改。
• 利用 $\overline{Z}$ 的 nef 生成元将除子拉回到 $X$，从而在 $X$ 上构造 Newton-Okounkov 体的 Minkowski 基。
• 证明 Minkowski 基元素的 Newton-Okounkov 体是 rational 且 polyhedral，且其值半群是有限生成的。
• 利用全局 Newton-Okounkov 体的 rational polyhedral 性质，通过 Anderson 的框架构造到 toric 空间的平坦嵌入退化。
• 使用软件 Gfan 计算 tropicalization 并在具体例子中验证构造，包括 $\overline{M}_{0,7}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用热带几何构造一个普遍模型，支配光滑 Mori dream 空间的所有小 Q-因子化修改？
• RQ2 嵌入 toric 空间的 MDS 的 tropicalization 是否会生成其 Newton-Okounkov 体的 Minkowski 基？
• RQ3 光滑 MDS 的全局 Newton-Okounkov 体是否为 rational polyhedron？
• RQ4 能否从 MDS 上 ample 线丛的 Newton-Okounkov 体构造 toric degenerations？
• RQ5 与 Minkowski 基关联的全局 Newton-Okounkov 体的值半群是否保持有限生成？

主要发现

• 对 $X|_T$ 的 tropicalization 诱导出一个模型 $\overline{X} \to X$，其嵌入于一个 fan 支撑在 ${\rm Trop}(X|_T)$ 上的 toric 空间 $\overline{Z}$ 中，该模型支配所有小 Q-因子化修改。
• 通过拉回 $\overline{Z}$ 的 nef 生成元，构造了 $X$ 上 Newton-Okounkov 体的 Minkowski 基，且基元素的 Newton-Okounkov 体为 rational polyhedral。
• X 的全局 Newton-Okounkov 体是 rational polyhedron，证实了 Lazarsfeld 和 Mustaça 的一个猜想。
• 与全局 Newton-Okounkov 体关联的值半群是有限生成的，从而保证了平坦嵌入退化的存在性。
• 对于 $X$ 上的任意 ample 线丛 $A$，对 $(X,A)$ 存在一个平坦嵌入退化到一个未必是正规的 toric 空间，其正规化即为由 $A$ 的 Newton-Okounkov 体定义的 toric 空间。
• 使用 Gfan 的显式计算验证了 $\overline{M}_{0,7}$ 的构造，其中 $\overline{X} \cong \overline{M}_{0,7}$ 是 $X$ 沿 10 条直线的 blow-up，而 $\overline{Z}$ 是 $Z$ 沿 10 个六维平面的 blow-up。