[论文解读] Newton polyhedra, tropical geometry and the ring of condition for $(C^*)^n$

Boris Kazarnovskii, Askold Khovanskiĭ|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过凸积分多面体，建立了一种新的 $(\mathbb{C}^*)^n$ 上条件环的描述，证明其同构于由多面体体积构造的 Khovanskii–Pukhlikov 环。该研究通过牛顿多面体统一了热带几何、toric 簇的上同调与交点理论，通过条件环与微分算子模消去理想构成的分次环之间的典范同构，推广了 BKK 定理。

ABSTRACT

The ring of conditions defined by C. De Concini and C. Procesi is an intersection theory for algebraic cycles in a spherical homogeneous space. In the paper we consider the ring of conditions for the group $(C^*)^n$. Up to a big extend this ring can be reduced to the cohomology rings of smooth projective toric varieties. This ring also can be described using tropical geometry. We recall these known results and provide a new description of this ring in terms of convex integral polyhedra.

研究动机与目标

• 以凸积分多面体的形式，提供 $(\mathbb{C}^*)^n$ 上条件环 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 的新描述。
• 将条件环与热带几何及光滑射影 toric 簇的上同调环统一起来。
• 通过条件环 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 与微分算子分次环模消去理想的典范同构，推广 Bernstein–Koushnirenko–Khovanskii (BKK) 定理。
• 证明条件环同构于由凸多面体体积构造的 Khovanskii–Pukhlikov 环。

提出的方法

• 本文使用与子簇 $X \subset (\mathbb{C}^*)^n$ 相关的 Bergman 锥 $B(X)$，其为若干有理凸锥的有限并，维度等于 $\dim X$。
• 应用通过包含 Bergman 锥 $B(X)$ 的光滑射影 toric 曲面 $M_\Delta$ 实现的良好紧化理论，以确保适当的交点行为。
• 证明环 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 同构于平衡 $\Lambda$-加权扇的热带环 $T\mathcal{R}_n(\Lambda)$，而后者又同构于光滑 toric 曲面 $M_\Delta$ 的上同调环 $H^*(M_\Delta, \Lambda)$。
• 关键构造涉及具有有理对偶扇的凸多面体形式差的集合 $\mathcal{L}_n$，以及在 $n$ 次齐次多项式 $n!V$ 上赋予多面体体积乘以 $n!$。
• 定义环 $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ 为 $\mathcal{L}_n$ 上常系数微分算子环模 $I_P$ 的商，其中 $I_P$ 为 annihilating $n!V$ 的理想，从而得到一个具有对偶性的分次环。
• 建立了同构 $\mathcal{R}_n(\mathbb{R}) \cong A(\mathcal{L}_n, n!V)$，通过此代数几何框架推广了 BKK 定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以凸积分多面体而非代数周期的形式描述 $(\mathbb{C}^*)^n$ 上的条件环 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$？
• RQ2 条件环与光滑射影 toric 簇的上同调环之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过一个典范代数结构，将 BKK 定理从超曲面推广到整个条件环？
• RQ4 热带几何，特别是平衡 $\Lambda$-加权扇，如何编码 $(\mathbb{C}^*)^n$ 中周期的交点理论？
• RQ5 是否存在 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 与通过微分算子从多面体体积构造的环之间的自然同构？

主要发现

• $(\mathbb{C}^*)^n$ 上的条件环 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 同构于 Khovanskii–Pukhlikov 环 $A(\mathcal{L}_n, n!V)$，其中 $\mathcal{L}_n$ 是具有有理对偶扇的凸多面体形式差的集合，$n!V$ 为体积多项式。
• $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ 同构于平衡 $\Lambda$-加权扇的热带环 $T\mathcal{R}_n(\Lambda)$，而后者又同构于光滑射影 toric 曲面 $M_\Delta$ 的上同调环 $H^*(M_\Delta, \Lambda)$。
• $n$ 个由 Laurent 多项式定义的超曲面在 $(\mathbb{C}^*)^n$ 中的交点数等于其牛顿多面体 $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ 的混合体积乘以 $n!$，从而推广了 BKK 定理。
• 光滑 toric 曲面 $M_\Delta$ 的上同调环 $H^*(M_\Delta, \mathbb{R})$ 同构（至多一个分次移位）于 Khovanskii–Pukhlikov 环 $A(L_\Delta, n!V)$，其中 $L_\Delta$ 是在 $M_\Delta$ 的扇上线性的支持函数的多面体形式差的集合。
• 环 $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ 是一个具有非退化配对的分次交换环，满足 $A_k$ 与 $A_{n-k}$ 之间的对偶性，且 $A_0 \cong \mathbb{R}$，$A_n \cong \mathbb{R}$，体现了对偶性与 Poincaré 对偶性结构。
• 通过将 $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ 构造为 $D(\mathcal{L}_n)/I_P$，其中 $I_P$ 为 annihilating $n!V$ 的微分算子理想，为条件环提供了典范的代数模型。