[论文解读] Newton-Schrödinger Equations are not derivable from General Relativity + Quantum Field Theory

Charis Anastopoulos, B. L. Hu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文证明牛顿-薛定谔方程（NSEs）无法从广义相对论（GR）和量子场论（QFT）通过两种独立方法推导得出：第一，通过对弱引力耦合的标量场求解约束并进行正则量子化，推导其非相对论极限，类比于量子电动力学的非相对论极限；第二，对半经典的爱因斯坦方程（SCE）取非相对论极限。关键结果是，NSEs源于将量子场算符错误地解释为经典c-数，以及错误地将单粒子波函数视为平均场集体变量，揭示出NSEs假设了超越GR+QFT的未知物理。

ABSTRACT

In this note we show that Newton-Schrödinger Equations (NSEs) [arXiv:1210.0457 and references therein] do not follow from general relativity (GR) and quantum field theory (QFT) by way of two considerations: 1) Taking the nonrelativistic limit of the semiclassical Einstein equation, the central equation of relativistic semiclassical gravity, a fully covariant theory based on GR+QFT with self-consistent backreaction of quantum matter on the spacetime dynamics; 2) Working out a model [see C. Anastopoulos and B. L. Hu, Class. Quant. Grav. 30, 165007 (2013), arXiv:1305.5231] with a matter scalar field interacting with weak gravity, in procedures analogous to the derivation of the nonrelativistic limit of quantum electrodynamics. We conclude that the coupling of classical gravity with quantum matter can only be via mean fields, there are no $N$-particle NSEs and theories based on Newton-Schrödinger equations assume unknown physics.

研究动机与目标

• 澄清牛顿-薛定谔方程（NSEs）在广义相对论（GR）和量子场论（QFT）框架下的基础地位。
• 解决长期存在的争议：NSEs是否源自GR+QFT，或代表一个独立的物理框架。
• 识别从半经典引力推导NSEs过程中，特别是在处理量子场和质量密度时的精确物理与数学错误。

提出的方法

• 通过求解约束并正则量子化系统，推导弱引力耦合标量场在GR+QFT下的非相对论极限，类比于量子电动力学的非相对论极限。
• 对半经典爱因斯坦方程（SCE）取非相对论极限，SCE是基于GR+QFT的全协变理论，包含自洽的反作用。
• 使用量子场 $\hat{\psi}(\mathbf{r})$ 和 $\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})$ 处理物质自由度，导出包含非局部引力相互作用的多体薛定谔方程。
• 对所得多体哈密顿量应用Hartree近似，研究 $N \to \infty$ 时的平均场极限，并与NSE进行比较。
• 识别出NSE中非线性项的来源是将 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ 视为经典质量密度，而实际上在QFT中它是量子算符 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r}) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r})$。
• 通过将推导出的多体薛定谔方程的Hartree近似与SCE极限及NSE进行对比，交叉验证结果，发现三者不匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿-薛定谔方程能否通过GR+QFT的非相对论极限一致地推导得出？
• RQ2 在GR+QFT背景下，半经典爱因斯坦方程（SCE）的正确非相对论极限是什么？
• RQ3 为何包含引力的多体量子场论在Hartree近似下不产生牛顿-薛定谔方程？
• RQ4 在GR+QFT中，引力自能的作用是什么？它与NSE及Diosi随机模型中的作用有何不同？
• RQ5 为何在NSE中将 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ 视为经典质量密度与量子场论不一致？

主要发现

• 在GR+QFT下，弱引力耦合标量场的非相对论极限导出一个包含非局部引力相互作用的多体薛定谔方程，但单粒子方程中不出现非线性项。
• 在GR+QFT中，引力自能在弱场极限下仅贡献于质量重正化，不产生薛定谔方程中的非线性项。
• 从推导出的多体哈密顿量出发，Hartree近似导出的平均场方程与半经典爱因斯坦方程的非相对论极限一致，而非牛顿-薛定谔方程。
• NSE中非线性项的来源是错误地将量子质量密度算符 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r})$ 视为经典c-数 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$，违反了量子场的算符性质。
• 单粒子NSE无法从N粒子量子场论在 $N\to\infty$ 极限下推导得出，因为Hartree近似中的 $\chi(\mathbf{r})$ 是集体变量，而非单粒子波函数。
• 基于牛顿-薛定谔方程的理论假设了未知物理，因为它们无法从GR+QFT的既定框架中推导得出。