[论文解读] Nice inducing schemes and the thermodynamics of rational maps

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 52被引用 7

一句话总结

本文通过引入具有Whitney型分解的精细化诱导方案，建立了包括非一致双曲系统和实系数二次多项式在内的广泛类 rational maps 的压力函数的实解析性。关键结果为：压力函数至多有两个相变点，确保除可能两个点外处处解析，并保证在正熵相中平衡态的关联指数衰减及中心极限定理成立。

ABSTRACT

We consider the thermodynamic formalism of a complex rational map $f$ of degree at least two, viewed as a dynamical system acting on the Riemann sphere. More precisely, for a real parameter $t$ we study the (non-)existence of equilibrium states of $f$ for the potential $-t \ln |f'|$, and the analytic dependence on $t$ of the corresponding pressure function. We give a fairly complete description of the thermodynamic formalism of a rational map that is "expanding away from critical points" and that has arbitrarily small "nice sets" with some additional properties. Our results apply in particular to non-renormalizable polynomials without indifferent periodic points, infinitely renormalizable quadratic polynomials with a priori bounds, real quadratic polynomials, topological Collet-Eckmann rational maps, and to backward contracting rational maps. As an application, for these maps we describe the dimension spectrum of Lyapunov exponents, and of pointwise dimensions of the measure of maximal entropy, and obtain some level-1 large deviations results.

研究动机与目标

• 为度数≥2的复rational maps建立压力函数关于参数t的实解析依赖性。
• 描述一类广泛非一致双曲rational maps的热力学形式化，包括不可重整化多项式及具有先验界条件的无限重整化二次多项式。
• 分析Lyapunov指数的维数谱及最大熵测度的逐点维数。
• 推导平衡态的Level-1大偏差结果，并证明无穷吸引域的积分均值谱的解析性。

提出的方法

• 采用更高返回时间而非首次返回时间的广义诱导方案，以处理循环临界点。
• 引入原像的Whitney型分解以控制共形质量，并替代先前工作中基于密度的方法。
• 应用[PRLS04]中压力函数的不同表征方式，分析其解析性与相变。
• 利用转移算子与Sobolev空间上的谱理论，建立关联的指数衰减与中心极限定理。
• 通过周期点的原像加权和，将[PS75]中的大偏差定理应用于平衡态。
• 利用压力与多重分形谱之间的Legendre对偶性，推导维数谱的解析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有循环临界点的rational maps的压力函数P(t)是实解析的？
• RQ2 非一致双曲rational maps热力学形式化中的相变结构如何？
• RQ3 满足TCE条件或先验界条件的映射，其Lyapunov指数的维数谱行为如何？
• RQ4 能否证明实系数二次多项式中无穷吸引域的积分均值谱在t∈ℝ上为实解析，至多两个例外点？
• RQ5 在正熵相中，平衡态具有哪些统计性质（如关联衰减、CLT）？

主要发现

• 压力函数P(t)在ℝ上实解析，至多有两个例外点，意味着热力学形式化中至多存在三个相。
• 对于所有不可重整化且无中性周期点的多项式，以及具有先验界条件的无限重整化二次多项式，压力函数除可能两个参数外均为实解析。
• 对于具有连通Julia集的非幂次、非切比雪夫多项式，最大熵测度的逐点维数谱在α<1时为实解析。
• 无穷吸引域的积分均值谱在每个t∈ℝ上实解析，至多两个例外点。
• 在正熵相中，存在唯一的平衡态，其关联呈指数衰减并满足中心极限定理。
• 对于Level-1大偏差，罕见事件的概率以速率P(t(ε)) − P(t₀) − (t(ε) − t₀)P′(t(ε)) < 0 指数衰减，证实了大偏差原理的有效性。