[论文解读] Nijenhuis tensors and obstructions for pseudoholomorphic mapping constructions

Boris Kruglikov|ArXiv.org|Nov 14, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文建立了一个分类近乎复结构的框架，并通过柯西-黎曼方程的高阶延拓，构造了几乎复流形之间的局部或形式伪全纯映射。文中引入了广义Nijenhuis张量，包括一个二阶张量，并证明了一个可解性准则，该准则导出了新兰德-尼伦伯格定理的形式部分以及几乎复结构的形式正规型。

ABSTRACT

In this paper we present some approaches to classification of almost complex structures and to construction of local or formal pseudoholomorphic mapping from one almost complex manifold to another. The corresponding criteria are given in terms of Nijenhuis tensors and their generalizations. We deal with the prolongations of the Cauchy-Riemann equation in 1-jets of the mapping from one almost complex manifold to another. We give a criterion of the prolongation existence of k-th pseudoholomorphic jets to the (k+1)-th ones. As a consequence basing on the Kuranishi's approach we obtain formal normal forms of almost complex structures. As another consequence we get the formal part of Newlander-Nirenberg's theorem on integrability. We also introduce the notion and study the properties of the linear Nijenhuis tensor, which we apply to almost complex structures of general position. Two applications are exhibited: a classification of four-dimensional almost complex structures in terms of distributions and a characterization of the new class of structures which we call Lie almost complex structures.

研究动机与目标

• 开发用于判断两个几乎复流形之间存在局部或形式伪全纯映射的判据。
• 利用广义Nijenhuis张量及其性质对几乎复结构进行分类。
• 通过高阶柯西-黎曼方程的可解性，提供几乎复结构的形式正规型。
• 利用延拓技术建立新兰德-尼伦伯格定理的形式部分。
• 引入并研究线性Nijenhuis张量，及其在一般位置结构分类中的作用。

提出的方法

• 在1-_jet水平分析柯西-黎曼方程的一阶延拓，引入条件 $ j_M \times \text{d}u = \text{d}u \times j_L $。
• 将一阶Nijenhuis张量作为障碍引入，并将其推广至更高阶张量，包括 $ N^{(2)}_j $，用于更高阶喷层延拓。
• 应用库兰希的思路，从高阶喷层空间上柯西-黎曼方程的可解性出发，推导出几乎复结构的形式正规型。
• 定义线性Nijenhuis张量的空间，并研究其从张量数据中的恢复方法。
• 利用Nijenhuis张量的'一般位置'概念，推导出伪全纯映射存在的必要与充分条件。
• 采用喷层空间完备化技术，通过涉及Nijenhuis型条件的逐次延拓，形式地积分柯西-黎曼系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2-_jet水平下，何种条件可确保两个几乎复流形之间存在伪全纯映射？
• RQ2 柯西-黎曼方程如何被形式地延拓至更高阶喷层？其间会出现何种障碍？
• RQ3 Nijenhuis张量及其高阶推广在伪全纯映射可积性中起何作用？
• RQ4 能否从喷层空间上柯西-黎曼方程的可解性准则推导出几乎复结构的形式正规型？
• RQ5 一般位置的几乎复结构有何特征？其与伪全纯映射存在性之间有何关联？

主要发现

• 将1-_jet伪全纯映射延拓至2-_jet映射的第一个障碍是交换条件 $ N_{j_M} \times \bigwedge^2 \text{d}u = \text{d}u \times N_{j_L} $。
• 二阶Nijenhuis张量 $ N^{(2)}_j $ 提供了柯西-黎曼方程形式完备化的下一项。
• 建立了高阶喷层空间上柯西-黎曼方程可解性的准则，从而导出新兰德-尼伦伯格定理的形式部分。
• 从可解性准则推导出几乎复结构的形式正规型，提供了一种分类工具。
• 一般位置的几乎复结构由处于一般位置的Nijenhuis张量刻画，即 $ N(\theta, \rho) = 0 $ 蕴含 $ \theta $ 与 $ \rho $ 是 $ \bbC $-相关的。
• 存在一个开且稠密的向量二形式集合 $ \bbV \ni A $，使得 $ A(\theta, \rho) = 0 $ 蕴含 $ \rho = \nu \theta $，从而保证张量处于一般位置。