[论文解读] Nilpotent invariance of semi-topological K-theory of dg-algebras and the lattice conjecture

Konovalov Andrey|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了A. Blanc的半拓扑K-理论在连通$$\mathbb{C}$-dg代数上的导出幂零不变性，从而在周期循环同调上确立了有理结构。关键结果证实了‘晶格猜想’——即从半拓扑K-理论到周期循环同调的拓扑陈特征是同构——对于若干类dg范畴成立，包括在有限型$$\mathbb{C}$-代数或其幂零扩张上的完美复形，以及满足Burghelea与Farrell-Jones猜想的fundamental group的空间上的局部系统。

ABSTRACT

We show existence of a natural rational structure on periodic cyclic homology, conjectured by L. Katzarkov, M. Kontsevich, T. Pantev, for several classes of dg-categories, including proper connective $\mathbb{C}$-dg-algebras and dg-categories of local systems. The main ingredient is derived nilpotent invariance of A. Blanc's semi-topological K-theory, which we establish along the way.

研究动机与目标

• 为非交换$$\mathbb{C}$-概形上的周期循环同调建立有理结构，如Katzarkov、Kontsevich与Pantev所猜想。
• 证明从半拓扑K-理论到周期循环同调的拓扑陈特征在多种dg范畴类上是同构。
• 将晶格猜想从群代数推广至满足特定猜想性质的fundamental group的空间上的局部系统。
• 通过拓扑K-理论与导出幂零不变性，为周期循环同调提供新的计算框架。
• 通过具有特定fundamental group的空间，提出构造Farrell-Jones猜想反例的几何方法。

提出的方法

• 使用A. Blanc的半拓扑K-理论作为候选积分结构，通过推广解析化过程的拓扑实现函子定义。
• 证明导出幂零不变性：对于连通$$\mathbb{C}$-dg代数的幂零扩张$v:B\rightarrow A$，诱导映射${\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(B)\rightarrow{\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(A)$是同构。
• 通过相同的拓扑实现形式化方法实现Hochschild与循环同调不变量，表明其实现为零。
• 应用2取3性质以及在Morita等价与直和项下的封闭性，将晶格猜想推广至更广泛的dg范畴类。
• 通过等价${\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))\simeq{\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(\mathbb{C}[\pi_1M])$将局部系统情形约化为群代数，依赖于fundamental group满足Burghelea与有理Farrell-Jones猜想。
• 运用高阶范畴论与同伦论结果，包括等价$\mathrm{Loc}(E,\mathbb{C})\simeq\mathrm{Perf}(C_*(\Omega E))$，将局部系统与环路空间同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 半拓扑K-理论是否对连通$$\mathbb{C}$-dg代数满足导出幂零不变性？
• RQ2 晶格猜想——即拓扑陈特征为同构——是否可对有限型$$\mathbb{C}$-代数或其幂零扩张上的完美复形成立？
• RQ3 对于哪些类别的拓扑空间$M$，局部系统范畴$\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C})$满足晶格猜想？
• RQ4 晶格猜想能否从群代数推广至满足Burghelea与Farrell-Jones猜想的fundamental group的空间上的局部系统？
• RQ5 能否通过具有满足Burghelea猜想但不满足Farrell-Jones猜想的fundamental group的空间，实现对Farrell-Jones猜想反例的几何构造？

主要发现

• 半拓扑K-理论对连通$$\mathbb{C}$-dg代数的幂零扩张满足导出幂零不变性，建立了基础性的技术结果。
• 晶格猜想在$T = \mathrm{Perf}(B)$时被确认，其中$B$为连通的完备$$\mathbb{C}$-dg代数或有限型$$\mathbb{C}$-代数的幂零扩张。
• 对于带有基点、连通且局部可缩的空间$M$，若$\pi_1M$属于八类指定群（包括双曲群、CAT(0)群、映射类群与右角Artin群），则局部系统的晶格猜想成立。
• 局部系统$\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C})$的半拓扑K-理论与群代数$\mathbb{C}[\pi_1M]$的半拓扑K-理论同构，从而将问题约化为群代数情形。
• 在群论假设下，拓扑陈特征诱导同构${\mathrm{K}}^{\mathrm{top}}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))\otimes\mathbb{C}\xrightarrow{\sim}\mathrm{HP}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))$。
• 结果表明，可通过寻找满足Burghelea猜想但不满足有理Farrell-Jones猜想的fundamental group的空间$M$，为构造Farrell-Jones猜想的反例开辟新路径。