[论文解读] No metrics with Positive Scalar Curvatures on Aspherical 5-Manifolds

Misha Gromov|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 17

一句话总结

本文证明了闭合双曲5-流形不允许可积曲率正的黎曼度量。通过稳定μ-泡泡的环形对称化以及通过扭曲$Τ^*$-扩张实现的标量曲率稳定化，作者表明此类流形的万有覆叠是均匀上同调的，这在维度≤5时阻碍了正标量曲率的存在。

ABSTRACT

A metric space $X$ is called uniformly acyclic if there there exists an {\it acyclicty control function} $R=R(r)=R_X(r)\geq r $, $0\leq r 0$ for $dim (X)\leq 5$. Our argument, that depends on {\it torical symmetrization} of {\it stable $μ$-bubbles}, is inspired by the recent paper by Otis Chodosh and Chao Li on non-existence of metrics with $Sc>0$ on aspherical 4-manifolds and is also influenced by the ideas of Jintian Zhu and Thomas Richard.

研究动机与目标

• 建立双曲5-流形上不存在正标量曲率度量的结论。
• 将正标量曲率非存在性结果从4-维推广至5-维双曲流形。
• 通过新的几何与分析技术，推广Chodosh-Li在4-流形上的定理。
• 研究均匀上同调性与填充半径界在阻碍正标量曲率中的作用。
• 基于标量曲率的几何控制，提出高维双曲流形的猜想。

提出的方法

• 通过迭代扭曲积扩张$X^* = X \times \mathbb{R}^N$引入标量曲率的$Τ^*$-稳定化，其中扭曲函数为$\phi_i(x)$。
• 使用公式$Sc(g^*) = Sc(g) - 2\sum \frac{\Delta \phi_i}{\phi_i} - 2\sum \langle \nabla \log \phi_i, \nabla \log \phi_j \rangle$，将$X^*$上的标量曲率与$X$上的标量曲率联系起来。
• 在黎曼带中应用稳定$\mu$-泡泡的环形对称化，以在标量曲率有界条件下控制几何不变量。
• 依赖于紧致双曲流形的万有覆叠是均匀上同调的（实际上也是均匀可缩的）这一事实。
• 利用填充半径与Uryson宽度界，推导出在稳定标量曲率$\geq \sigma > 0$下的几何约束。
• 改编Chodosh-Li（2020）与Zhu/Richard（2019）的技术，将他们的结果推广至5维。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致双曲5-流形上能否存在正标量曲率度量？
• RQ2 万有覆叠的何种几何性质在5维中阻碍正标量曲率的存在？
• RQ3 $Τ^*$-标量曲率稳定化在证明非存在性定理中起到何种作用？
• RQ4 填充半径与Uryson宽度界在多大程度上约束了具有稳定标量曲率$\geq \sigma > 0$的流形？
• RQ5 是否存在$ m > 5 $时的高维类比非存在性结果？

主要发现

• 若一个$ m $-流形$ m \leq 5 $，其存在一个到均匀上同调$ m $-流形的恰当且距离递减的映射，则该流形不能具有均匀正的标量曲率。
• 紧致双曲5-流形的万有覆叠是均匀上同调的，这意味着此类流形不允许可积曲率正的度量。
• 对于闭合曲面，若其扭曲$\mathbb{T}^N$-扩张满足$Sc^* \geq \sigma$，则$\text{diam}(X) \leq 2\pi \sqrt{(N+1)/((N+2)\sigma)} < 2\pi / \sqrt{\sigma}$。
• 在$\mathbb{T}^N$-扩张中，若闭合曲面$X$满足$Sc^* \geq 2$，则其面积满足$\text{area}(X) \leq 4\pi$，与Jintian Zhu的结果一致。
• 证明依赖于余维2中的稳定$\mu$-泡泡与环形对称化，扩展了Chodosh-Li与Zhu的思想。
• 针对$m=6$提出了猜想，认为万有覆叠在余维1中必须是均匀上同调的，或具有$Sc \geq \sigma > 0$的流形的填充半径必须被$O(1/\sqrt{\sigma})$所限制。