[论文解读] No More Than Mechanics. I

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|May 2, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文提出了一种统一的算子理论框架，称为“普通力学”（Plain Mechanics），通过表示理论将经典力学与量子力学统一起来。通过在海森堡群上实现该框架（采用双边卷积），建立了从量子力学（通过不可约表示）到经典力学（通过h→0极限）的交换图，其中可观测量的运动方程分别一致地映射到海森堡方程和哈密顿方程。

ABSTRACT

One can introduce so-called {\em Plain Mechanics} having an {\bf operator realization}. Then the set of one-dimension representations of this operator realization may be identified with the Classical Mechanics. Different irreducible infinite-dimension representations may be recognized as Quantum Mechanics for different $\hbar$ (the Planck constant). It can be done in the such manner that the following diagram will be commutative. Plain Mechanics / \ / \ / \ Quantum Mechanics --> Classical Mechanics h->0 Here the horizontal arrow is well known correspondence between Quantum and Classical Mechanics if Planck constant tensing to zero. A {\em realization} of this scheme for a particle in $n$-dimensional space by two-sided convolutions on the Heisenberg group is constructed. We also introduce the {\em motion equations} for observables in this realization. The left arrow of the given diagram carries this equation to the Heisenberg one and the right arrow maps it to the Hamilton equation.

研究动机与目标

• 在单一算子理论形式下统一经典力学与量子力学，该形式称为“普通力学”。
• 证明该形式的不同不可约无穷维表示对应于具有不同约化普朗克常数的量子力学。
• 通过算子实现建立从量子力学（h→0）到经典力学的交换图。
• 在该算子框架中定义并分析可观测量的运动方程。
• 证明这些运动方程在量子区域下退化为海森堡方程，在经典极限下退化为哈密顿方程。

提出的方法

• 使用海森堡群上的双边卷积，构建‘普通力学’的算子实现。
• 通过h→0极限，将该算子代数的一维表示与经典力学对应起来。
• 利用不可约无穷维表示，对不同值的约化普朗克常数ℏ，实现量子力学的建模。
• 在算子框架中定义可观测量的运动方程，该方程是海森堡方程的推广。
• 证明在量子表示下，运动方程一致地映射为海森堡方程；在经典极限下，映射为哈密顿方程。
• 利用表示理论与群论方法，确保所提出的交换图的可交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一算子理论框架下统一经典力学与量子力学？
• RQ2 海森堡群的不可约表示在实现具有不同约化普朗克常数的量子力学中起什么作用？
• RQ3 在算子实现中，h→0极限如何恢复经典力学？
• RQ4 在该推广框架中，可观测量的运动方程具有何种结构？
• RQ5 在算子实现中，运动方程如何退化为标准的海森堡方程与哈密顿方程？

主要发现

• 在海森堡群上对‘普通力学’的算子实现，为经典力学与量子力学提供了统一的设定。
• 该算子代数的一维表示在h→0极限下恰好对应于经典力学。
• 同一算子代数的不可约无穷维表示，实现了不同约化普朗克常数ℏ下的量子力学。
• 该框架中可观测量的运动方程在量子区域下一致地映射为海森堡方程。
• 在经典极限（h→0）下，运动方程退化为标准的哈密顿运动方程。
• 所提出的包含普通力学、量子力学与经典力学的交换图，在指定极限与映射下是可交换的。