[论文解读] Non--Commutative (Quantum) Probability, Master Fields and Stochastic Bosonization

Luigi Accardi, Yun Gang Lu+1 more|ArXiv.org|Dec 31, 1994

Quantum Information and Cryptography参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文建立了一个框架，将非交换概率、大N矩阵模型中的主场以及随机玻色化联系起来，展示了冯诺依曼的自由概率和大N极限如何导出量子中心极限定理。它推导出QCD中规范主场的量子随机微分方程，并提出了一种非线性Wigner半圆律与相互作用Fock空间，作为具有非交叉图的自相互作用量子场论。

ABSTRACT

In this report we discuss some results of non--commutative (quantum) probability theory relating the various notions of statistical independence and the associated quantum central limit theorems to different aspects of mathematics and physics including: $q$--deformed and free central limit theorems; the description of the master (i.e. central limit) field in matrix models along the recent Singer suggestion to relate it to Voiculescu's results on the freeness of the large $N$ limit of random matrices; quantum stochastic differential equations for the gauge master field in QCD; the theory of stochastic limits of quantum fields and its applications to stochastic bosonization of Fermi fields in any dimensions; new structures in QED such as a nonlinear modification of the Wigner semicircle law and the interacting Fock space: a natural explicit example of a self--interacting quantum field which exhibits the non crossing diagrams of the Wigner semicircle law.

研究动机与目标

• 统一量子场论中的非交换概率、主场与随机玻色化。
• 将随机矩阵的大N极限与冯诺依曼的自由概率以及主场的出现联系起来。
• 利用随机极限推导QCD中规范主场的量子随机微分方程。
• 为任意维度中的费米场发展一种随机玻色化程序。
• 在QED中识别新结构，包括非线性Wigner半圆律与具有非交叉图的相互作用Fock空间。

提出的方法

• 利用非交换（量子）概率理论，将经典统计独立性推广至量子设置。
• 应用量子中心极限定理，推导矩阵模型中的主场，将其与自由概率及Wigner半圆律联系起来。
• 采用随机极限技术，构建QCD中主场的量子随机微分方程。
• 提出一种利用量子场随机极限的任意维费米场随机玻色化方法。
• 构建一个相互作用Fock空间模型，其自然表现出非交叉图，类似于Wigner半圆律，作为自相互作用量子场论。
• 利用辛格的建议，将主场与冯诺依曼关于大N矩阵极限自由性的结果联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换概率中不同统计独立性概念如何与矩阵模型中的量子中心极限定理相关联？
• RQ2 能否利用冯诺依曼的自由概率框架严格推导出大N矩阵模型中的主场？
• RQ3 支配QCD中规范主场动力学的量子随机微分方程是什么？
• RQ4 量子场的随机极限如何实现任意维度中费米场的广义随机玻色化？
• RQ5 在QED中出现了哪些新量子场结构，如非线性Wigner半圆律与非交叉图行为？

主要发现

• 在大N矩阵模型中，主场作为冯诺依曼意义下的自由随机变量出现，证实了其与Wigner半圆律的关联。
• 通过随机极限方法，推导出QCD中规范主场的量子随机微分方程。
• 构建了一个新的相互作用Fock空间，其自然表现出非交叉图，类似于Wigner半圆律。
• 随机玻色化程序成功地通过随机极限将费米场映射为任意空间维度中的玻色子场。
• 在QED中识别出Wigner半圆律的非线性修正，表明存在具有非平凡图结构的自相互作用量子场。
• 本文建立了随机矩阵大N极限与量子场论中自由概率出现之间的严格联系。