[论文解读] Non-Compact Geometries in 2D Euclidean Quantum Gravity

J.A. Gesser|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 5

一句话总结

本论文通过分析耦合了李维利体系的 (p,q) 最小模型中的 FZZT-FZZT 圆柱振幅，研究了二维欧几里得量子引力中的非紧致几何。结果表明，主 ZZ 边界条件在积分掉世界膜上的物质自由度后作为有效边界条件出现，并且在动态三角剖分的标度极限中，仅有 (1,1) 卡迪边界条件得以保留，同时在圆柱振幅的无限距离处提供了从 FZZT 到 ZZ D-膜相变的证据。

ABSTRACT

This thesis discusses the worldsheet geometries in the (p,q) minimal model coupled to 2D euclidean Quantum Gravity with particular focus on non-compact geometries. We first calculate the FZZT-FZZT cylinder amplitudes for all pairs of Cardy matter states thereby generalizing the result obtained in arXiv:hep-th/0406030 and discuss the decompositions of the cylinder amplitudes in terms of solutions to the homogeneous Wheeler-DeWitt equation. We then show, that the principal ZZ boundary conditions in Liouville theory can be viewed as effective boundary conditions obtained by integrating out the matter degrees of freedom on the worldsheet. We now consider the (2,2m-1) minimal model coupled to 2D euclidean Quantum Gravity obtained in the scaling limit of dynamical triangulations, in which the mth multi-critical hyper-surface is approached and the conformal background is turned on. We show, that only one concrete realization of matter boundary condition, the (1,1) Cardy boundary condition, is obtained in this scaling limit. Finally, we study the cylinder amplitude with fixed distance and provide some evidence of a transition from a FZZT-brane to a ZZ-brane on the exit loop in the limit, where the distance approaches infinity, and for particular values of the exit-boundary cosmological constant.

研究动机与目标

• 理解非紧致几何在二维欧几里得量子引力中的作用，特别是与李维利理论和边界态的关系。
• 将 FZZT-FZZT 圆柱振幅推广至耦合了量子引力的 (p,q) 最小模型中所有卡迪物质态的组合。
• 研究在世界膜上积分掉物质自由度后，李维利理论中的主 ZZ 边界条件如何作为有效边界条件出现。
• 分析 (2,2m−1) 最小模型中动态三角剖分的标度极限，识别哪些物质边界条件被实现。
• 研究固定距离下的圆柱振幅，并为当距离趋于无穷时，FZZT D-膜行为向 ZZ D-膜行为的转变提供证据。

提出的方法

• 利用共形场论技术，推导出耦合了二维欧几里得量子引力的 (p,q) 最小模型中所有卡迪态组合的 FZZT-FZZT 圆柱振幅。
• 应用边界态形式化方法，在李维利理论中构造 FZZT 和 ZZ 边界态，通过算符乘积展开和韦尔玛模结构分析其性质。
• 使用极小超空间近似和半经典分析，研究李维利理论的谱及其与惠勒-德维特方程的关系。
• 对世界膜距离趋于无穷时的圆柱振幅进行详细渐近分析，重点研究一阶矩函数和边界态重叠的行为。
• 运用复分析和刘维尔定理，证明解析函数之间的函数恒等式，在特定条件（k=l=1，rq−sp≠0）下，建立三角函数与指数项特定组合的相等性。
• 分析接近第 m 个多临界点时动态三角剖分的标度极限，表明在连续极限中仅 (1,1) 卡迪边界条件被实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耦合了二维量子引力的 (p,q) 最小模型中，FZZT-FZZT 圆柱振幅如何分解为齐次惠勒-德维特方程解的形式？
• RQ2 李维利理论中的主 ZZ 边界条件是否可被解释为在世界膜上积分掉物质自由度后出现的有效边界条件？
• RQ3 在耦合了二维欧几里得量子引力的 (2,2m−1) 最小模型中，动态三角剖分的标度极限下，被选择的物质边界条件是什么？
• RQ4 当世界膜距离趋于无穷时，圆柱振幅是否表现出从 FZZT D-膜到 ZZ D-膜行为的转变？该转变在何种宇宙学常数条件下发生？
• RQ5 圆柱振幅与边界态波函数之间的精确函数关系是什么？解析性质（如极点和留数）如何约束解的结构？

主要发现

• 计算了耦合了二维欧几里得量子引力的 (p,q) 最小模型中所有卡迪物质态组合的 FZZT-FZZT 圆柱振幅，推广了先前的结果。
• 证明了李维利理论中的主 ZZ 边界态在积分掉世界膜上物质自由度后，作为有效边界条件出现。
• 在接近第 m 个多临界点的动态三角剖分标度极限中，仅 (1,1) 卡迪边界条件被实现，表明存在边界条件的选择机制。
• 在世界膜距离趋于无穷时，圆柱振幅中发现了从 FZZT D-膜行为向 ZZ D-膜行为转变的证据，特别针对出口边界宇宙学常数的某些取值。
• 对于特殊情况 k=l=1 且 rq−sp>0，通过证明差值函数为整函数且有界，利用刘维尔定理证明 f(z) 等于 h₁(z)，且比例常数在 t→∞ 时趋于零。
• 类似地，对于 k=l=1 且 rq−sp<0，证明 f(z) 等于 h₂(z)，从而在这些条件下确认了函数恒等式。