[论文解读] (Non-)Contextuality of Physical Theories as an Axiom

Adán Cabello, Simone Severini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用 61

一句话总结

该论文将 KCBS 非上下文性不等式推广至由图表示的任意兼容性结构，表明量子力学的量子违反受限于图的 Lovász θ 函数，而广义概率理论可通过分数打包数超越这一界限。该研究为量子模型和广义模型分别建立了高效的半定规划和线性规划表征，揭示了非上下文性、量子和广义相关性之间存在严格层级关系。

ABSTRACT

We show that the noncontextual inequality proposed by Klyachko et al. [Phys. Rev. Lett. 101, 020403 (2008)] belongs to a broader family of inequalities, one associated to each compatibility structure of a set of events (a graph), and its independence number. These have the surprising property that the maximum quantum violation is given by the Lovasz theta-function of the graph, which was originally proposed as an upper bound on its Shannon capacity. Furthermore, probabilistic theories beyond quantum mechanics may have an even larger violation, which is given by the so-called fractional packing number. We discuss in detail, and compare, the sets of probability distributions attainable by noncontextual, quantum, and generalized models; the latter two are shown to have semidefinite and linear characterizations, respectively. The implications for Bell inequalities, which are examples of noncontextual inequalities, are discussed. In particular, we show that every Bell inequality can be recast as a noncontextual inequality a la Klyachko et al.

研究动机与目标

• 将 KCBS 非上下文性不等式从五边形推广至由图表示的任意兼容性结构。
• 表征非上下文性、量子力学和广义概率模型所允许的概率分布集合。
• 表明量子违反可通过半定规划高效计算，而广义模型的违反可通过线性规划求解。
• 阐明违反量子力学的 Gleason 允许概率赋值的操作起源，表明其源于广义概率理论中的有效操作模型。
• 在最简情况下（五边形）建立非上下文性、量子和广义模型之间的严格层级关系，且非上下文性不等式具有不同的界限。

提出的方法

• 将事件的兼容性和互斥性表示为图，其中顶点代表事件，边表示兼容性和互斥性。
• 基于兼容可观测量的期望值之和定义非上下文性不等式，其最大值受图的独立数约束。
• 使用 Lovász θ 函数作为该不等式最大量子违反的上界。
• 通过半定规划表征量子相关性，表明最大量子值可高效计算。
• 通过线性规划表征广义概率模型，表明最大违反也可高效计算。
• 表明不满足量子力学但满足 Gleason 约束的概率赋值源于广义概率理论中有效的操作模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 KCBS 非上下文性不等式能否从五边形推广至任意兼容性结构？
• RQ2 给定图的非上下文性不等式，其最大量子违反是多少？是否可高效计算？
• RQ3 非上下文性、量子和广义模型的概率分布集合在可实现值方面如何比较？
• RQ4 满足 Gleason 约束但违反量子力学的概率赋值能否由一致的操作理论解释？
• RQ5 广义概率理论中，最大量子违反与代数最大值之间存在何种关系？

主要发现

• 图 Γ 的非上下文性不等式最大量子违反由 Γ 的 Lovász θ 函数给出，该值可通过半定规划高效计算。
• 对于五边形（C5），最大量子违反为 √5 ≈ 2.236，超过非上下文性界限 2，但低于广义界限 2.5。
• 广义概率模型可在五边形中实现最大违反 5/2 = 2.5，该值在量子力学中不可实现。
• 即使在最简单的非平凡情况（C5）下，量子相关性集合也严格包含于广义概率相关性集合之中。
• 非上下文性不等式 β(Γ) 的最大值计算为 NP-难问题，而量子和广义模型的违反分别可通过 SDP 和 LP 高效计算。
• 违反量子力学的 Gleason 允许概率赋值被证明源于广义概率理论中有效的操作模型，其中相邻事件的总和为 1，但未必正交。