[论文解读] Non density of stability for holomorphic mappings on P^k

Romain Dujardin|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 20

一句话总结

该论文通过构造拓扑与分形几何机制下的双曲斥实集与后临界集之间的持久交点，证明了在 $k \geq 2$ 且 $d \geq 2$ 时，$J^*$-稳定性在 $\mathbb{P}^k$ 上的全纯映射空间中并非稠密。结果否定了高维情形下的一维 Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich 稠密性定理的类比。

ABSTRACT

A well-known theorem due to Mañé-Sad-Sullivan and Lyubich asserts that J-stable maps are dense in any holomorphic family of rational maps in dimension 1. In this paper we show that the corresponding result fails in higher dimension. More precisely, we construct open subsets in the bifurcation locus in the space of holomorphic mappings of degree d of P^k (C) for every d $\ge$ 2 and k $\ge$ 2.

研究动机与目标

• 研究在 $k \geq 2$ 时，$J^*$-稳定性是否在 $\mathbb{P}^k$ 上的全纯映射族中稠密，以扩展一维情形下的 Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich 定理。
• 确定在高维复动力系统中，是否存在持久分岔——即分岔轨迹中的开集。
• 利用拓扑与分形几何机制，构造全纯映射的显式例子，展示其具有鲁棒分岔。
• 探讨此类分岔的普遍性及其与斥性周期轨道特征值穿越的关系。

提出的方法

• 通过对乘积映射 $(p(z), w^d)$ 进行小扰动，利用拓扑障碍机制，实现后临界集与 $J^*$ 中双曲斥实集之间的持久交点。
• 应用同调论证，表明由于拓扑约束，$J^*$ 中某些动态定义的流形必须与后临界集相交。
• 借鉴 Bonatti-Diaz 理论，在复动力系统中使用“肥”康托集（blenders），以确保在小扰动下与临界集实现横截交点。
• 分析临界集及其迭代下的几何结构，验证扰动能保持与双曲斥实集的交点。
• 利用 $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 作为 $\mathbb{P}^N$ 的 Zariski 开子集的结构，对映射进行参数化并分析分岔轨迹。
• 通过分析纤维结构并提升高维乘积空间中迭代下的临界集，将 $k=2$ 时的结果推广至更高维。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $k \geq 2$ 时，$J^*$-稳定性是否仍如在 $\mathbb{P}^1$ 中一样在全纯映射族中稠密？
• RQ2 在 $k \geq 2$ 且 $d \geq 2$ 时，尽管临界集有限，$\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 中是否仍可能存在分岔的开集？
• RQ3 后临界集与 $J^*$ 中双曲斥实集之间持久交点在何种条件下出现？
• RQ4 能否系统性地在全纯动力系统中构造出 blenders（具有横截交点性质的“肥”康托集），以生成鲁棒分岔？
• RQ5 在 $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 中，分岔轨迹是否等于其内部的闭包？抑或存在稳定性仍稠密的区域？

主要发现

• 在所有 $k \geq 2$ 且 $d \geq 2$ 时，$\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 中的分岔轨迹具有非空内部，从而否定了高维情形下一维稠密性定理的类比。
• 通过拓扑机制，论文通过确保 $J^*$ 中一个动态定义的流形因同调约束而必须与后临界集相交，从而构造出分岔的开集。
• 对于形如 $(p(z), w^d + \kappa)$ 的映射，当 $p$ 具有弱排斥不动点（$1 < |p'(z_0)| < 1.01$）且 $\kappa$ 较大时，建立了后临界集与 $J^*$ 中一个双曲斥实集之间的持久交点。
• 通过“复 blenders”（即利用肥康托集构造）可确保在小扰动下与临界集实现鲁棒的横截交点，从而保证分岔在开邻域中持续存在。
• 通过在纤维积结构中提升临界集并分析其在迭代下的像，将结果从 $k=2$ 推广至更高维。
• 猜想表明，对于乘积映射和 Lattfls 映射，分岔在分岔轨迹闭包中是稠密的，表明鲁棒分岔具有广泛的存在性。