[论文解读] Non-elementary proper forcing notions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 1997

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文引入了非初等正规性（nep）和索斯林非初等正规性（snep），作为适用于 $({\rm H}(\theta),\ni)$ 的可数模型（不一定是初等子模型）的正规力迫的推广。证明了nep力迫公理在可数支撑迭代下保持不变，并建立了二分法：若此类力迫保持模c.c.c.理想下某集合的正性，则它也保持所有正Borel集合的正性。

ABSTRACT

We present reasons for developing a theory of forcing notions which satisfy the properness demand for countable models which are not necessarily elementary submodels of some (H(chi), in). This leads to forcing notions which are ``reasonably'' definable. We present two specific properties materializing this intuition: nep (non-elementary properness) and snep (Souslin non-elementary properness). For this we consider candidates (countable models to which the definition applies), and the older Souslin proper. A major theme here is ``preservation by iteration'', but we also show a dichotomy: if such forcing notions preserve the positiveness of the set of old reals for some naturally define c.c.c. ideals, then they preserve the positiveness of any old positive set. We also prove that (among such forcing notions) the only one commuting with Cohen is Cohen itself.

研究动机与目标

• 发展一种力迫理论，将正规性从 $({\rm H}(\theta),\ni)$ 的初等子模型扩展至更广范围，从而允许更可定义且更易处理的力迫公理。
• 引入并分析两种新性质——nep（非初等正规性）与snep（索斯林非初等正规性），作为正规性的自然推广。
• 在可数支撑迭代下建立nep力迫的保持定理，确保主要性质在迭代过程中得以维持。
• 证明二分法：若nep力迫保持模c.c.c.理想下某集合的正性，则它也保持 $^\omega\omega$ 中所有正Borel集合的正性。
• 研究在c.c.c. nep力迫中，哪些力迫公理与科赫恩力迫自交换，且在nep框架内对其进行刻画。

提出的方法

• 通过理想在 $\operatorname{pd}(N,{\bf Q})$ 中的预稠密性定义 $q$ 是 $(N,{\bf Q})$-通用的，用 $N\langle G\rangle$ 代替 $N[G]$ 以处理非初等模型。
• 引入 $K$-绝对nep的概念，以确保性质在不同模型间保持不变。
• 在可数支撑迭代中，对 $p \in \operatorname{Lim}(\bar{\mathbb{Q}})$ 使用 $p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$ 的概念，以维持nep性。
• 定义闭包操作 $({\rm cl}_1, {\rm cl}_2)$，以分析nep力迫下哪些性质被保持。
• 将该框架应用于c.c.c.理想，并证明：若某力迫保持单个正集的正性，则它也保持所有正Borel集合的正性。
• 运用模型论技术分析通用实数及其生成的子力迫，尤其关注索斯林与c.c.c.性质的上下文。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个保持模c.c.c.理想下某集合正性的nep力迫公理，是否也保持 $^\omega\omega$ 中所有正Borel集合的正性？
• RQ2 哪些力迫公理与科赫恩力迫自交换？我们能否在nep框架内对它们进行刻画？
• RQ3 snep力迫类是否严格大于nep力迫类，特别是在 $\theta = \kappa = \aleph_0$ 的情况下？
• RQ4 若一个索斯林c.c.c.力迫公理添加了一个实数，其对应的Borel代数是否也是索斯林c.c.c.的？
• RQ5 nep力迫理论能否推广至 $\lambda$-完备力迫公理，如鲍姆加特纳公理所考虑的那样？

主要发现

• nep力迫公理在可数支撑迭代下保持不变，主要性质通过构造 $p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$ 得以维持。
• 存在二分法：若nep力迫保持模c.c.c.理想下某集合的正性，则它也保持 $^\omega\omega$ 中所有正Borel集合的正性，推广了文献中已知结果。
• 在c.c.c. nep力迫中，唯一与科赫恩力迫自交换的力迫公理是科赫恩力迫本身。
• 对于索斯林c.c.c.力迫公理，若其添加了一个新实数但未添加 $\sigma$-中心化有界实数，则其添加了一个新实数，该实数生成一个 $\sigma$-中心化子力迫。
• 在 $\theta = \kappa = \aleph_0$ 的情况下，snep力迫类严格包含nep力迫类，从而正面回答了问题13.14。
• K-绝对nep理论确保了nep的关键性质在不同模型间保持不变，增强了理论的鲁棒性与可定义性。