[论文解读] Non-intrusive reduced-order models for parametric partial differential equations via data-driven operator inference

Shane A. McQuarrie, Parisa Khodabakhshi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出了一种非侵入式、数据驱动的算子推理框架，用于构建时变PDE的参数化降模态模型（ROM）。通过在模拟数据上对学习到的ROM算子进行线性回归，直接将参数化结构嵌入到学习到的算子中，该方法可实现对参数化PDE的快速求解，适用于不确定性量化和反问题。

ABSTRACT

This work formulates a new approach to reduced modeling of parameterized, time-dependent partial differential equations (PDEs). The method employs Operator Inference, a scientific machine learning framework combining data-driven learning and physics-based modeling. The parametric structure of the governing equations is embedded directly into the reduced-order model, and parameterized reduced-order operators are learned via a data-driven linear regression problem. The result is a reduced-order model that can be solved rapidly to map parameter values to approximate PDE solutions. Such parameterized reduced-order models may be used as physics-based surrogates for uncertainty quantification and inverse problems that require many forward solves of parametric PDEs. Numerical issues such as well-posedness and the need for appropriate regularization in the learning problem are considered, and an algorithm for hyperparameter selection is presented. The method is illustrated for a parametric heat equation and demonstrated for the FitzHugh-Nagumo neuron model.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式降模态建模框架，以保留时变PDE的参数化结构。
• 通过直接从数据中学习参数化算子，解决ROM中高维参数空间的挑战。
• 为需要大量PDE求解的应用（如不确定性量化和反问题）提供高效的前向求解能力。
• 通过学习过程中的正则化和超参数选择，确保问题的适定性和鲁棒性。
• 在具有仿射参数依赖性的参数化PDE（包括热方程和FitzHugh–Nagumo模型）上展示该方法的有效性。

提出的方法

• 利用算子推理（OpInf）从模拟快照和时间导数中学习降模态算子，而无需访问原始高保真度代码。
• 通过基函数对降模态算子系数建模为参数的函数，将参数依赖性直接嵌入ROM结构中。
• 通过求解数据驱动的线性回归问题来推断参数化算子，系统矩阵由参数化基函数和状态轨迹构建。
• 使用稀疏回归和正则化以提高数值稳定性与泛化能力，尤其是在高维参数空间中。
• 应用超参数选择算法以调整正则化参数，提升学习性能。
• 通过张量化参数化二次项和线性项来处理非线性项，实现参数化降模态算子的高效计算。

Figure 1: Experimental parameter samples (left) and associated snapshots at intermediate time $t=t_{75}=0.075$ (right) for the heat equation problem Eq. 8a – Eq. 8c . The vertical line $x=\bar{x}$ marks the point in the domain where the diffusion constant switches between $\alpha$ and $\beta$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用模拟数据，非侵入式ROM框架能否准确捕捉时变PDE的参数依赖性？
• RQ2 如何将参数结构直接嵌入降模态算子中，以确保物理一致性与计算效率？
• RQ3 在参数化ROM学习过程中，哪些正则化策略能有效确保适定性和鲁棒性？
• RQ4 与基于插值的ROM方法相比，该方法在参数维度增加时的可扩展性如何？
• RQ5 该框架能否在复杂参数化PDE（如FitzHugh–Nagumo模型）上实现高精度和显著加速？

主要发现

• 所提出的方法通过直接从数据中学习参数化降模态算子，实现了对参数化PDE的高精度与快速求解。
• 与全阶模型相比，该框架在计算上实现了显著加速，支持高效多查询应用。
• 正则化和超参数选择显著提升了学习的稳定性和泛化能力，尤其在高维参数空间中表现突出。
• 由于避免了维度灾难，该方法在高维参数空间中优于基于插值的ROM。
• 在参数化热方程和FitzHugh–Nagumo模型上的数值实验表明，该方法在广泛参数值范围内均表现出高精度和鲁棒性。
• 所得到的ROM具有适定性，并通过在算子推理过程中直接嵌入参数结构，保持了物理一致性。

Figure 2: Residual energy decay (left) and the six dominant POD basis functions (right) for the snapshot set generated at the parameter samples in Fig. 1 . For $r\geq 12$ , we have $1-\mathcal{E}(r)<10^{-7}$ ; if $r\geq 19$ , then $1-\mathcal{E}(r)<10^{-10}$ .