[论文解读] Non parametric threshold estimation for models with stochastic diffusion coefficients and jumps

Cecilia Mancini|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于非参数阈值的估计方法，利用离散观测数据对具有随机波动率和跳跃的扩散过程的已实现波动率（IV）进行估计。通过识别超过数据驱动阈值的跳跃，该方法在跳跃活动为有限或无限的情况下均能一致地估计IV，即使存在杠杆效应和不等间距采样，且在有限活动跳跃情况下建立了渐近正态性，其效率优于幂次变差估计器。

ABSTRACT

We consider a stochastic process driven by a diffusion and jumps. We devise a technique, which is based on a discrete record of observations, for identifying the times when jumps larger than a suitably defined threshold occurred. The technique allows also jump size estimation. We prove the consistency of a nonparametric estimator of the integrated infinitesimal variance of the process continuous part when the jump component with infinite activity is Levy. Central limit results are proved in the case where the jump component has finite activity. Some simulations illustrate the reliability of the methodology in finite samples.

研究动机与目标

• 开发一种基于离散观测数据的非参数方法，用于估计具有随机扩散系数和跳跃的模型中的已实现波动率（IV）。
• 当跳跃成分具有有限活动（FA）时，识别跳跃发生的时间和大小；当跳跃成分具有无限活动（IA）时，检测较大的跳跃。
• 在对漂移和扩散系数的最小假设下（包括杠杆效应和非等距观测），建立IV估计量的一致性。
• 在有限活动跳跃情况下，证明IV估计量和跳跃大小估计量的渐近正态性，扩展了以往研究中不考虑杠杆效应的限制。
• 通过多个模拟模型（包括随机波动率和Lévy跳跃成分）展示估计量在有限样本下的表现。

提出的方法

• 对已实现增量 $\Delta_i X = X_{t_i} - X_{t_{i-1}}$ 应用基于阈值的程序，以检测跳跃幅度超过阈值 $r(h)$ 的区间。
• 阈值 $r(h)$ 选取为 $h^{\gamma}$，其中 $\gamma \in (0.5, 1)$，以确保跳跃与扩散成分在渐近意义下可分离。
• 已实现波动率估计量定义为 $\hat{IV} = \sum_{i} (\Delta_i X)^2 \cdot \mathbf{1}_{\{(\Delta_i X)^2 \leq r(h)\}}$，排除可能由跳跃引起的较大增量。
• 对于有限活动跳跃，通过每段区间内最大增量识别跳跃时间并估计跳跃大小。
• 利用 Barndorff-Nielsen 等（2005）和 Barndorff-Nielsen 与 Shephard（2006）的结果，推导出 $\hat{IV}$ 的渐近正态性，该结果在一般扩散动态下成立。
• 该方法对杠杆效应（扩散与跳跃成分之间的相关性）和非等距采样具有鲁棒性，优于某些先前方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于非参数阈值方法是否能在同时存在有限活动与无限活动跳跃成分的情况下，一致地估计已实现波动率？
• RQ2 当跳跃过程具有有限活动时，如何非参数地估计跳跃发生的时间和大小？
• RQ3 在存在杠杆效应和非等距观测条件下，已实现波动率的阈值估计量是否仍保持一致性和高效性？
• RQ4 在有限活动跳跃假设下，IV估计量和跳跃大小估计量的渐近分布特性为何？
• RQ5 在有限样本中，该阈值方法与幂次变差估计器和核平滑估计器相比，在偏差与方差方面表现如何？

主要发现

• 已实现波动率的阈值估计量 $\hat{IV}$ 在跳跃活动为有限或无限的情况下均具有一致性，即使存在杠杆效应和非等距采样。
• 对于有限活动跳跃，该方法在渐近意义上能正确识别跳跃发生的时间，并提供跳跃大小的一致估计。
• $\hat{IV}$ 的渐近分布为均值为零、方差为 $\frac{2}{3}\sum_i (\Delta_i X)^4 \mathbf{1}_{\{(\Delta_i X)^2 \leq r(h)\}}$ 的正态分布，模拟结果与理论极限一致。
• 在相同条件下，该阈值估计量在 Cramér-Rao 下界意义下比多幂次变差估计器更高效。
• 模拟结果显示，$\hat{IV}$ 的标准化偏差项在三种模型中均收敛至标准正态分布：常数波动率下的复合泊松跳跃模型、具有相关跳跃的随机波动率模型，以及方差伽马跳跃模型。
• 即使阈值为时变形式，该方法仍保持有效性，显著增强了其在真实金融数据中的实际应用潜力。