[论文解读] Non-regularised inverse finite element analysis for 3D traction force microscopy

José J. Muñoz|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Cellular Mechanics and Interactions被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于3D牵引力显微镜的非正则化逆有限元方法，可在许多常见的3D几何形状、网格划分和载荷条件下消除稳定化需求。通过推导离散平衡方程的精确可解条件，该方法将计算成本降低至标准直接有限元问题的水平，同时在场维数满足特定兼容性准则时确保唯一且精确的解。

ABSTRACT

The tractions that cells exert on a gel substrate from the observed displacements is an increasingly attractive and valuable information in biomedical experiments. The computation of these tractions requires in general the solution of an inverse problem. Here, we resort to the discretisation with finite elements of the associated direct variational formulation, and solve the inverse analysis using a least square approach. This strategy requires the minimisation of an error functional, which is usually regularised in order to obtain a stable system of equations with a unique solution. In this paper we show that for many common threedimensional geometries, meshes and loading conditions, this regularisation is unnecessary. In these cases, the computational cost of the inverse problem becomes equivalent to a direct finite element problem. For the non-regularised functional, we deduce the necessary and sufficient conditions that the dimensions of the interpolated displacement and traction fields must preserve in order to exactly satisfy or yield a unique solution of the discrete equilibrium equations. We apply the theoretical results to some illustrative examples and to real experimental data. Due to the relevance of the results for biologists and modellers, the article concludes with some practical rules that the finite element discretisation must satisfy.

研究动机与目标

• 解决常规正则化逆有限元方法在3D牵引力显微镜中存在不稳定性和高计算成本的问题。
• 识别在逆有限元分析中正则化可被省略以实现稳定且唯一解的条件。
• 推导位移和牵引力有限元场维数的理论准则，以确保离散平衡方程被精确满足。
• 为实验和模拟中的3D环境提供有限元离散化的实用指导，实现精确且高效的牵引力重建。

提出的方法

• 使用有限元法对牵引力问题的直接变分公式进行离散化。
• 将逆问题表述为观测位移与计算位移之间误差泛函的最小二乘最小化问题。
• 确定插值位移场和牵引力场维数的必要且充分条件，以确保无需正则化即可获得唯一且精确的解。
• 将推导出的条件应用于说明性实例和真实实验数据以验证该方法。
• 利用理论框架建立3D TFM中有限元网格和单元类型选择的实用规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可在3D牵引力显微镜的逆有限元分析中省略正则化？
• RQ2 位移和牵引力有限元场之间的何种尺寸关系可保证离散平衡方程具有唯一且精确的解？
• RQ3 在典型3D几何形状和载荷场景下，省略正则化对逆问题的计算成本和稳定性有何影响？
• RQ4 所提出的非正则化方法是否能在真实实验数据上实现与正则化方法相当的精确牵引力重建？
• RQ5 可推导出哪些有限元离散化的实用规则，以确保在无需正则化的情况下实现可解性和准确性？

主要发现

• 对于许多常见的3D几何形状、网格划分和载荷条件，正则化并非必需，使得逆问题可直接求解，其计算成本等同于标准直接有限元分析。
• 基于插值位移场与牵引力场之间的维数兼容性，推导出精确且唯一解的必要且充分条件。
• 当场维数满足所推导的兼容性准则时，离散平衡方程可被精确满足而无需稳定化处理。
• 该方法成功地从合成数据和真实实验数据中实现了高精度的牵引力重建，验证了非正则化方法的有效性。
• 已建立有限元离散化的实用规则，确保在3D TFM应用中无需正则化即可实现可解性和准确性。