[论文解读] Non-stationary resonance dynamics of the harmonically forced pendulum

Leonid I. Manevitch, В. В. Смирнов+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 1被引用 14

一句话总结

本文提出一种结合极限相轨迹（LPT）概念的半逆渐近方法，以解析描述无振幅限制的谐振子受迫摆的稳态与高度非稳态共振动力学。该研究识别出两个关键动力学转变：其一标志新稳态通过分岔诞生；其二则表示由于LPT-同宿分界线汇聚导致的振幅突增，对应于从激励源获取最大能量，混沌则在后一转变附近出现。

ABSTRACT

The stationary and highly non-stationary resonant dynamics of the harmonically forced pendulum are described in the framework of a semi-inverse procedure combined with the Limiting Phase Trajectory concept. This procedure, implying only existence of slow time scale, permits to avoid any restriction on the oscillation amplitudes. The main results relating to the dynamical bifurcation thresholds are represented in a closed form. The small parameter defining the separation of the time scales is naturally identified in the analytical procedure. Considering the pendulum frequency as the control parameter we reveal two qualitative transitions. One of them corresponding to stationary instability with formation of two additional stationary states, the other, associated with the most intense energy drawing from the source, at which the amplitude of pendulum oscillations abruptly grows. Analytical predictions of both bifurcations are verified by numerical integration of original equation. It is also shown that occurrence of chaotic domains may be strongly connected with the second transition.

研究动机与目标

• 开发一种适用于受迫摆的解析框架，避免摄动理论中常见的振幅限制。
• 识别并表征系统共振行为中两种截然不同的动力学转变。
• 阐明第二类转变与混沌动力学出现之间的关联。
• 通过庞加莱截面与动力系统分析验证解析预测。

提出的方法

• 应用半逆渐近程序，仅假设存在慢变时间尺度，无需小振幅条件。
• 引入摆运动的复振幅表示，将原始二阶常微分方程转化为一阶复数方程。
• 通过平均法消除长期项，导出包含第一类贝塞尔函数的慢流方程。
• 利用极限相轨迹（LPT）概念描述高度非稳态的能量传递，特别是从激励源的最大能量提取。
• 求解慢流方程，推导出振幅与激励参数依赖的稳态振荡频率的解析表达式。
• 通过庞加莱截面进行数值验证，分析分岔点附近的相空间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种解析框架可描述受迫摆的稳态与高度非稳态动力学而无振幅限制？
• RQ2 所识别的两类动力学转变——稳态与非稳态——在系统相空间中如何表现？
• RQ3 LPT-分界线汇聚在触发振幅突增与最大能量传递中起何作用？
• RQ4 混沌如何与非稳态转变及系统的参数演化相关联？
• RQ5 在何种条件下出现分界线混沌，其依赖于激励振幅的特性如何？

主要发现

• 通过解析方法识别出两种截然不同的动力学转变：其一对应于稳定与不稳定稳态对的诞生；其二与LPT和异宿分界线的汇聚相关。
• 第二类转变对应于从谐振激励源可实现的最大能量提取，表现为振荡振幅的急剧上升。
• 推导出稳态振荡频率的解析表达式为 $\omega = -s + \sqrt{\frac{1}{Q}\left(2J_1(Q) - f\right) + s^2}$，适用于任意振幅。
• 数值庞加莱截面验证了分析预测，显示在两类转变处相空间发生明显变化。
• 混沌动力学在非稳态转变附近出现，存在两种不同情景：一是在两类转变之后（分界线破裂）；二是在非稳态转变过程中本身，尤其在较高激励振幅下更为显著。
• 当 $f = 0.08$ 时，混沌在稳态转变后出现，并在非稳态转变时变得显著，表明最大能量传递与混沌起始之间存在强烈关联。