[论文解读] Non-uniqueness results for the anisotropic Calderon problem with data measured on disjoint sets

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在黎曼流形微分同胚于圆柱体、且Dirichlet与Neumann数据在不相交的边界分量上测量时，建立了各向异性Calderón问题中的非唯一性。利用Sturm-Liouville算子的谱理论与同谱形变，构造了显式无穷维族的互异势能，其产生相同的部分Dirichlet-to-Neumann映射，表明即使在二维与三维具有柱面拓扑的设定下，当数据在不同边界部分采集时，唯一性仍会失效。

ABSTRACT

In this paper, we give some simple counterexamples to uniqueness for the Calderon problem on Riemannian manifolds with boundary when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint sets of the boundary. We provide counterexamples in the case of two and three dimensional Riemannian manifolds with boundary having the topology of circular cylinders in dimension two and toric cylinders in dimension three. The construction could be easily extended to higher dimensional Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 研究当Dirichlet与Neumann数据在不相交的边界分量上测量时，部分Dirichlet-to-Neumann映射是否唯一确定各向异性Calderón问题中的黎曼度量与势能。
• 确定在何种几何与分析条件下，边界流形上的反谱问题中唯一性会失效。
• 利用Sturm-Liouville算子的同谱形变构造显式反例，以证明各向异性Calderón问题中的非唯一性。
• 将已知的关于完整或局部数据的唯一性结果推广至不相交数据集的情形，表明数据域之间缺乏重叠从根本上改变了底层度量与势能的可辨识性。

提出的方法

• 将流形建模为区间与环面或圆周的乘积，其度量仅依赖于一个变量，从而在Helmholtz方程中实现变量分离。
• 通过角向变量的傅里叶展开，将各向异性Calderón问题约化为一维Sturm-Liouville问题族。
• 利用Borg-Marchenko定理将一维问题的谱数据与势能关联，从而构造同谱势能。
• 通过特征函数的对数导数，显式构造参数化于 $k \geq 1$ 与 $t \in \mathbb{R}$ 的势能族 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$，使其保持谱数据不变。
• 以Weyl-Titchmarsh函数表示部分Dirichlet-to-Neumann映射，并证明当数据位于不相交分量时，同谱势能产生相同的映射。
• 证明当 $f = h$ 时，一维问题的谱数据仅依赖于组合 $q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$，从而允许同谱形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Dirichlet与Neumann数据在不相交的边界分量上测量时，部分Dirichlet-to-Neumann映射是否唯一确定各向异性Calderón问题中的黎曼度量与势能？
• RQ2 是否可利用势能的同谱形变构造出各向异性Calderón问题中不相交数据下唯一性失效的显式反例？
• RQ3 在Dirichlet与Neumann数据收集于边界不同连通分量时，何种几何与分析条件允许非唯一性？
• RQ4 在数据不相交的情况下，关联的一维Sturm-Liouville问题的谱数据与完整Dirichlet-to-Neumann映射之间有何关系？
• RQ5 在存在不相交数据集时，Weyl-Titchmarsh函数在何种条件下无法唯一确定势能？

主要发现

• 当Dirichlet与Neumann数据在不相交的边界分量上测量时，各向异性Calderón问题中存在非唯一性，即使在二维与三维柱面流形中亦然。
• 可显式构造无穷维族的互异势能 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$，使得其产生与给定势能 $V$ 相同的部分Dirichlet-to-Neumann映射，前提是 $f = h$。
• 该构造依赖于通过特征函数对数导数获得的一维Sturm-Liouville问题的同谱形变，参数化于 $k \geq 1$ 与 $t \in \mathbb{R}$。
• 当 $f = h$ 时，一维问题的谱数据仅依赖于组合 $q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$，从而允许同谱势能。
• 部分Dirichlet-to-Neumann映射 $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$ 在此类形变下保持不变，意味着对所有 $k \geq 1$ 与 $t \in \mathbb{R}$，有 $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2) = \Lambda_{g,\tilde{V}_{\lambda,k,t},\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$。
• 相反，当 $\Gamma_D$ 与 $\Gamma_N$ 位于同一连通分量时，唯一性成立，如通过将Borg-Marchenko定理应用于一维问题的谱数据所证明。