[论文解读] Nonabelian localization in equivariant K-theory and Riemann-Roch for quotients

Dan Edidin, William Graham|ArXiv.org|Nov 9, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文在复代数群作用于光滑代数空间且稳定子群有限的情形下，建立了等变K-理论中的非交换局部化公式，将经典的局部化定理推广至非阿贝尔群的情形。核心结果为：通过从群元素的中心化子出发的上推，结合不动点分支的法丛与余法丛的修正项，给出了关于紧致群作用商空间的黎曼-罗赫公式，从而恢复全局K-理论类。

ABSTRACT

We prove a localization formula in equivariant algebraic $K$-theory for an arbitrary complex algebraic group acting with finite stabilizer on a smooth algebraic space. This extends to non-diagonalizable groups the localization formulas H.A. Nielsen in equivariant $K$-theory of vector bundles and R.W. Thomason for higher $K$-theory of equivariant coherent sheaves. As an application we give a Riemann-Roch formula for quotients of smooth algebraic spaces by proper group actions. This formula extends previous work of B. Toen for stacks with quasi-projective moduli spaces and the authors for quotients by diagonalizable groups.

研究动机与目标

• 将等变K-理论中的非交换局部化定理推广至对角化群之外的情形。
• 通过使用全局稳定子与中心化子作用，解决非阿贝尔群作用下不动点分支不具有G-不变性的问题。
• 为光滑代数空间关于紧致群作用的商空间建立黎曼-罗赫公式。
• 将Toen及作者先前的结果推广至具有有限稳定子的非阿贝尔情形。
• 通过从不动点分支上的数据经上推构造，提供等变K-理论类的可计算公式。

提出的方法

• 使用全局稳定子 $ S_X = \{(g,x) \mid gx = x\} $ 作为奇异商 $ X_\Psi = \overline{GX^h} $ 的正则替代，其中 $ X^h $ 是 $ h \in G $ 的不动点分支。
• 定义上推 $ \iota_! \colon G(Z,X^h) \to G(G,X) $，其中 $ Z = \mathcal{Z}_G(h) $，以关联不动点分支上的等变K-理论与整体理论。
• 在对应于共轭类 $ \Psi $ 的极大理想 $ \mathfrak{m}_\Psi \subset R(G) $ 处应用局部化，利用莫里塔等价与局部化定理。
• 推导关键公式：$ \alpha = \iota_!\left( \frac{\lambda_{-1}((\mathfrak{g}/\mathfrak{z})^*) \cap (\iota^!\alpha)_h }{\lambda_{-1}(N_\iota^*)} \right) $，其中 $ \lambda_{-1} $ 表示外幂的交错和。
• 利用有限的、$ G $-等变的覆盖 $ X' \to X $ 将问题约化至$ G $自由作用的情形，从而可使用不变量与上推。
• 利用$ G $-主齐性空间的切丛与$ X \times \mathfrak{g} $的典范同构（通过伴随作用），将几何时空与表示论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将等变K-理论中的局部化定理从阿贝尔群推广至非阿贝尔群？
• RQ2 当不动点分支 $ X^h $ 不是$ G $-不变而是仅$ Z $-不变时，什么取代了自交公式？
• RQ3 能否为光滑代数空间关于紧致非阿贝尔群作用的商空间建立黎曼-罗赫公式？
• RQ4 全局稳定子 $ S_X $ 如何作为奇异商 $ X_\Psi $ 的正则替代？
• RQ5 非阿贝尔局部化公式中的正确修正项是什么？它如何用李代数与法丛表示？

主要发现

• 本文在任意复代数群作用于光滑代数空间且稳定子群有限的情形下，建立了等变K-理论中的非交换局部化公式，推广了Nielsen与Thomason的经典结果。
• 该公式将任意局部化等变K-理论类 $ \alpha \in G(G,X)_{\mathfrak{m}_\Psi} $ 表示为 $ \iota_!\left( \frac{\lambda_{-1}((\mathfrak{g}/\mathfrak{z})^*) \cap (\iota^!\alpha)_h }{\lambda_{-1}(N_\iota^*)} \right) $，其中 $ \iota^! $ 为限制与拉回至中心化子。
• 当 $ X $ 光滑时，全局稳定子 $ S_\Psi \subset S_X $ 是正则的，使得即使 $ X_\Psi $ 奇异，也能使用几何技巧。
• 通过从全局稳定子出发的上推，结合有限覆盖与不变量，证明了商空间的黎曼-罗赫公式，从而将问题约化至自由作用的情形。
• 该构造与有限上推可交换，并保持不变量，使得证明可通过对自由群作用的情形进行约化来完成。
• 本文证明了一个几何引理：$ G $-主齐性空间的切丛在典范同构下与 $ X \times \mathfrak{g} $（配备伴随作用）同构，该结果构成了主要构造的基石。