[论文解读] Noncompact harmonic manifolds

Gerhard Knieper, Norbert Peyerimhoff|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文研究非紧致调和流形，证明具有纯指数体积增长的流形具有 Gromov 双曲性、Anosov 测地线流以及调和函数在无穷远处的平均值性质。研究建立表明，此类空间中的水平面具有多项式体积增长，并通过 Martin 边界给出了有界调和函数的表示，从而解决了 Lichnerowicz 猜想非紧致情形的关键问题。

ABSTRACT

The Lichnerowicz conjecture asserts that all harmonic manifolds are either flat or locally symmetric spaces of rank 1. This conjecture has been proved by Z.I. Szabo for harmonic manifolds with compact universal cover. E. Damek and F. Ricci provided examples showing that in the noncompact case the conjecture is wrong. However, such manifolds do not admit a compact quotient. The classification of all noncompact harmonic spaces is still a very difficult open problem. In this paper we provide a survey on recent results on noncompact simply connected harmonic manifolds, and we also prove many new results, both for general noncompact harmonic manifolds and for noncompact harmonic manifolds with purely exponential volume growth.

研究动机与目标

• 为解决关于非紧致调和流形的几何与结构的开放问题，特别是那些无紧致商的流形。
• 研究非平坦的单连通非紧致调和流形是否必然具有纯指数体积增长。
• 确定此类流形是否必须具有非正曲率，或是否存在非齐次的例子。
• 建立具有纯指数体积增长的空间上调和函数在无穷远处的平均值性质。
• 通过 Martin 边界和可见性测度刻画有界调和函数。

提出的方法

• 分析调和流形的密度函数，利用 Nikolayevsky 的结果证明其为指数多项式。
• 应用从同一点出发的测地射线的统一发散结果，研究渐近几何。
• 利用球面和水平面上的曲率估计，以控制内在体积增长。
• 推导密度函数的微分不等式，并为次调和函数构造积分公式。
• 应用测地线流和 Busemann 函数，将几何边界与 Martin 边界关联。
• 利用 Busemann 函数梯度的流，变换水平面上的集合，并分析体积衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非平坦的单连通非紧致调和流形是否都具有纯指数体积增长？
• RQ2 所有非平坦的单连通非紧致调和流形是否都具有非正曲率？
• RQ3 是否存在非齐次的单连通调和流形？
• RQ4 具有纯指数体积增长的非紧致调和流形的 Martin 边界是否与几何边界同构？
• RQ5 此类流形上的调和函数是否满足在无穷远处的平均值性质？

主要发现

• 具有纯指数体积增长的非紧致调和流形中的水平面具有多项式体积增长。
• 对于非平坦调和流形，Martin 边界与 Busemann 边界重合，且可见性测度的 Radon-Nikodym 导数被显式计算。
• 具有纯指数体积增长的非紧致调和流形上的调和函数满足在无穷远处的平均值性质：在水平面上膨胀集合上的平均值收敛于理想边界点的函数值。
• Green 核函数可显式用密度函数表示，从而实现调和函数的积分表示。
• 此类流形上的有界调和函数可通过 Martin 边界表示，且 Poisson 核由密度函数导出。
• 当且仅当流形具有纯指数体积增长且水平面具有正平均曲率时，测地线流为 Anosov 流，且流形为 Gromov 双曲流形。