[论文解读] Nonequilibrium dynamics of noninteracting fermions in a trap

David S. Dean, Pierre Le Doussal+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文研究了在势阱中N个非相互作用费米子的实时量子动力学，重点关注量子淬火后Wigner函数和关联函数的时间演化。对于谐振子和反平方势，推导出精确解，表明边缘普适性（由Airy或Bessel核描述）在时间演化中保持不变，且时间依赖的宽度下依然成立，并通过密度矩阵的对角系综，确认在大N、固定ℏ的量子 regime 下与广义吉布斯系综（GGE）的一致性。

ABSTRACT

We consider the real time dynamics of $N$ noninteracting fermions in $d=1$. They evolve in a trapping potential $V(x)$, starting from the equilibrium state in a potential $V_0(x)$. We study the time evolution of the Wigner function $W(x,p,t)$ in the phase space $(x,p)$, and the associated kernel which encodes all correlation functions. At $t=0$ the Wigner function for large $N$ is uniform in phase space inside the Fermi volume, and vanishes at the Fermi surf over a scale $e_N$ being described by a universal scaling function related to the Airy function. We obtain exact solutions for the Wigner function, the density, and the correlations in the case of harmonic and inverse square potentials, for several $V_0(x)$. In the large $N$ limit, near the edges where the density vanishes, we obtain limiting kernels (of the Airy or Bessel types) that retain the form found in equilibrium, up to a time dependent rescaling. For non-harmonic traps the evolution of the Fermi volume is more complex. Nevertheless we show that, for intermediate times, the Fermi surf is still described by the same equilibrium scaling function, with a non-trivial time and space dependent width which we compute analytically. We discuss the multi-time correlations and obtain their explicit scaling forms valid near the edge for the harmonic oscillator. Finally, we address the large time limit where relaxation to the Generalized Gibbs Ensemble (GGE) was found to occur in the "classical" regime $\hbar \sim 1/N$. Using the diagonal ensemble we compute the Wigner function in the quantum case (large $N$, fixed $\hbar$) and show that it agrees with the GGE. We also obtain the higher order (non-local) correlations in the diagonal ensemble.

研究动机与目标

• 理解从初始平衡态发生量子淬火后，非相互作用费米子在势阱中的实时量子动力学。
• 研究在非平衡时间演化过程中，平衡态下观察到的普适边缘行为（Airy/Bessel核）是否依然存在。
• 在大N、固定ℏ的量子 regime 下，建立对角系综与广义吉布斯系综（GGE）之间的联系。
• 计算边缘附近的多时间关联函数，并为谐振子势阱推导其普适标度形式。
• 分析长时间弛豫动力学，并通过使用对角系综确认在量子 regime 下系统热化至GGE。

提出的方法

• 使用Wigner函数W(x, p, t)作为相空间准概率分布，描述多体系统的时变演化。
• 利用H₀的初始基态作为淬火初始条件，对谐振子和反平方势精确求解时间依赖的Wigner函数及其关联核。
• 应用对角系综（时间平均密度矩阵）计算长时间关联函数，并与GGE预测进行比较。
• 利用Airy和Bessel函数推导边缘关联的普适标度形式，该形式在大N极限下靠近费米面有效。
• 解析计算费米面的时间依赖宽度，表明即使在非谐振子势阱中，其演化也具有非平凡特性。
• 利用随机矩阵理论（RMT）关联和可行列点过程，将关联函数表达为核函数（正弦、Airy、Bessel）的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非相互作用费米子，在非平衡时间演化过程中，平衡态下观察到的普适边缘行为（Airy或Bessel核）是否依然保持？
• RQ2 在量子淬火后，费米面在相空间中的演化如何，特别是其形状和宽度的变化？
• RQ3 对角系综在描述长时间关联中起什么作用，其与GGE预测相比如何？
• RQ4 边缘附近的多时间关联函数能否表示为普适标度形式，其时间依赖关系如何？
• RQ5 在大时间极限下，系统是否在量子 regime（固定ℏ，大N）下弛豫至GGE，以及如何确认这一点？

主要发现

• 对于谐振子和反平方势，Wigner函数的时间演化保持普适边缘标度形式（Airy或Bessel核），其时间依赖宽度可精确计算。
• 在费米面附近，大N极限下Wigner函数以非平凡的时间和空间依赖宽度演化，但其函数形式与平衡态时相同。
• 对角系综对高阶（非局部）关联函数给出精确表达式，仅当密度矩阵的非对角元被忽略时，才与GGE预测一致。
• 对于谐振子势阱中边缘附近的多时间关联函数，本文在大N极限下推导出显式的普适标度形式。
• 在长时间极限下，对角系综确认系统在量子 regime（大N，固定ℏ）下弛豫至GGE，且Wigner函数和关联函数完全一致。
• 本研究揭示，除非单粒子密度矩阵的非对角元可忽略，否则GGE对m点关联（m ≥ 2）的预测与对角系综不同，凸显了非平衡量子系统中非局域关联的重要性。