[论文解读] Nonhomogeneous systems involving critical or subcritical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Souptik Chakraborty+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文证明了在临界或次临界非线性项及非齐次项条件下，非局部分数阶薛定谔型方程组存在一个非平凡的正解。通过在分数阶索博列夫空间中使用极小化方法，证明当非齐次项 $f$ 和 $g$ 的对偶范数足够小时，存在能量为负的正解。

ABSTRACT

This paper deals with existence of a nontrivial positive solution to systems of equations involving nontrivial nonhomogeneous terms and critical or subcritical nonlinearities. Via a minimization argument we prove existence of a positive solution whose energy is negative provided that the nonhomogeneous terms are small enough in the dual norm.

研究动机与目标

• 建立具有临界或次临界非线性项的分数阶拉普拉斯方程组的非平凡正解的存在性。
• 分析当非线性项处于临界或次临界增长阈值时，非齐次项 $f$ 和 $g$ 在解存在性中的作用。
• 在 $f$ 和 $g$ 的对偶范数满足小量条件时，证明解的能量为负。
• 将先前关于标量方程的结果推广至涉及耦合分数阶拉普拉斯算子和幂次非线性项的向量系统。

提出的方法

• 在临界情形（$\alpha + \beta = 2^*_s$）下将问题表述于分数阶索博列夫空间 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$，在次临界情形下表述于 $H^s(\mathbb{R}^N) \times H^s(\mathbb{R}^N)$。
• 在解空间上定义泛函 $J_{f,g}$，其临界点对应于该系统的弱解。
• 在空间的合适子集上应用极小化方法，以寻找能量泛函的局部极小值点。
• 通过从下方有界二阶导数，证明泛函 $\tilde{J}_{f,g}$ 在 $H^s \times H^s$ 中半径为 $r$ 的球内具有严格凸性。
• 利用精确的分数阶索博列夫不等式及最佳常数 $S_{\alpha+\beta}$ 控制非线性项，并确保泛函在球面边界上保持正值。
• 在球面 $\|(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 上为 $\tilde{J}_{f,g}$ 建立下界，证明当 $\|f\|_{H^{-s}}$ 和 $\|g\|_{H^{-s}}$ 足够小时，该下界仍为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非齐次项 $f$ 和 $g$ 保证了具有临界或次临界非线性项的非局部系统存在正解？
• RQ2 当非线性项处于临界增长速率 $2^*_s$ 时，能否找到能量为负的解？
• RQ3 对偶范数 $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$ 和 $\|g\|_{H^{-s}}$ 的小量如何影响解的存在性与能量？
• RQ4 分数阶拉普拉斯算子及耦合结构在正解存在性中起何作用？
• RQ5 在 $f$ 和 $g$ 的相同小量假设下，解是否唯一，或可存在多个解？

主要发现

• 当非齐次项 $f$ 和 $g$ 分别在 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$ 或 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 的对偶范数下足够小时，系统 $(\mathcal{S})$ 存在非平凡正解。
• 在 $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$ 和 $\|g\|_{H^{-s}}$ 的小量条件下，解的能量为负，表明存在非平凡极小值点。
• 泛函 $\tilde{J}_{f,g}$ 在 $H^s \times H^s$ 中半径为 $r$ 的球内具有严格凸性，确保该区域内极小值点的唯一性。
• 在球面 $\|(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 上为 $\tilde{J}_{f,g}$ 建立了下界，当 $\max\{\|f\|_{H^{-s}}, \|g\|_{H^{-s}}\} \leq d$（$d > 0$）时，该下界为正。
• 在 $\alpha, \beta > 1$ 且 $\alpha + \beta \leq 2^*_s$ 的条件下，通过 $\tilde{J}_{f,g}$ 在球面上的下确界为正以及其在球内的严格凸性，保证了解的存在性。
• 证明依赖于精确的分数阶索博列夫不等式，以及最佳常数 $S_{\alpha+\beta}$ 与 $S_{(\alpha,\beta)}$ 的比较，从而确保二阶导数估计中二次型的正定性。