[论文解读] Nonisothermal nematic liquid crystal flows with the Ball--Majumdar free energy

Eduard Feireisl, Elisabetta Rocca+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文在三维空间中建立了非等温向列型液晶流模型全局弱解的存在性，该模型将不可压缩的纳维-斯托克斯方程与Q-张量的非线性抛物方程通过巴尔-马朱姆达尔自由能耦合。该模型引入了一个具有物理真实性的奇异势能，导致Q中的奇点和温度中的退化性，通过仔细分析势能的对数爆破速率以及在输运系数满足幂律增长假设下的能量估计得以解决。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of global in time weak solutions for an evolutionary PDE system modelling nonisothermal Landau-de Gennes nematic liquid crystal (LC) flows in three dimensions of space. In our model, the incompressible Navier-Stokes system for the macroscopic velocity $\vu$ is coupled to a nonlinear convective parabolic equation describing the evolution of the Q-tensor $\QQ$, namely a tensor-valued variable representing the normalized second order moments of the probability distribution function of the LC molecules. The effects of the (absolute) temperature $\vt$ are prescribed in the form of an energy balance identity complemented with a global entropy production inequality. Compared to previous contributions, we can consider here the physically realistic singular configuration potential $f$ introduced by Ball and Majumdar. This potential gives rise to severe mathematical difficulties since it introduces, in the Q-tensor equation, a term which is at the same time singular in $\QQ$ and degenerate in $\vt$. To treat it a careful analysis of the properties of $f$, particularly of its blow-up rate, is carried out.

研究动机与目标

• 在三维空间中，针对具有物理上合理的巴尔-马朱姆达尔自由能的非等温向列型液晶流模型，建立全局弱解的存在性。
• 解决由巴尔-马朱姆达尔势能的奇异性和退化性带来的数学挑战，该势能在Q趋近其定义域的物理边界时呈现对数爆破行为。
• 建立一个考虑温度依赖效应和通过Q-张量梯度体现的界面能的能和熵平衡框架。
• 通过精细的先验估计，处理温度退化性（ϑ > 0 a.e.，但下确界可能为0）和Q-张量演化中的奇异性。
• 通过使用总能量守恒定律结合弱熵不等式，避免速度二次项带来的数学不可解性，确保模型符合热力学原理。

提出的方法

• 将系统表述为耦合的PDE系统：不可压缩的纳维-斯托克斯方程用于速度u，Q-张量Q的非线性对流抛物方程，以及包含熵不等式的能量平衡方程。
• 采用巴尔-马朱姆达尔自由能ψB(ϑ, Q) = ϑf(Q) + G(Q)，其中f(Q)是定义在物理Q-张量定义域上的凸且奇异的自由能泛函，其在边界处呈现对数爆破。
• 用总能量守恒定律和弱熵不等式替代标准的热传导方程，以避免由速度二次项引起的数学困难。
• 应用拉普拉斯渐近方法，分析大温度或极端Q构型下奇异势能f(Q)的行为。
• 对热导率、比热容和旋转黏度施加幂律增长条件，以确保紧致性论证所需的充分先验估计。
• 采用周期性边界条件以最小化技术复杂性，并实现对能量平衡中未知变量压力的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有物理上合理的巴尔-马朱姆达尔奇异势能的非等温向列型液晶流模型建立全局弱解？
• RQ2 如何从数学上处理Q中的联合奇点与ϑ中的退化性，以获得一致的先验估计？
• RQ3 f(Q)的对数爆破速率在构造能量与熵边界时起什么作用？
• RQ4 当标准热传导方程被守恒律取代时，如何一致地表述能量与熵平衡？
• RQ5 对输运系数的何种增长条件可控制Q-张量方程中奇异与退化项？

主要发现

• 本文证明了在三维空间中，具有巴尔-马朱姆达尔自由能的非等温向列型液晶流系统存在全局时间弱解。
• 解在积分（时空）形式下满足能量平衡与熵不等式，反映了全局平衡而非点态不等式。
• 分析表明，当Q的任意特征值趋近−1/3时，奇异势能f(Q)以对数方式爆破，这一关键性质被用于推导先验估计。
• 分析表明，在热导率、比热容和旋转黏度满足幂律增长假设的前提下，温度退化性（ϑ > 0 a.e.）与Q中的奇异性均可被有效控制。
• 该方法通过使用周期性边界条件并仔细控制压力作为未知量，成功处理了能量平衡中显式出现的压力项。
• 通过拉普拉斯方法的渐近分析，确认了在大温度或极端Q构型极限下，与势能相关的积分有界，从而保证了估计的有效性。