[论文解读] Nonisotropically balanced domains, Lempert function estimates, and the spectral Nevanlinna-Pick problem

Gautam Bharali|ArXiv.org|Jan 6, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了 $Λ$-非各向同性平衡区域，作为平衡区域的推广，并推导出此类区域中 Lempert 函数的精确上下界，特别针对对称多圆盘 $G_n$ 和谱单位球 $Ω_n$。利用这些估计，本文建立了 $G_n$ 和 $Ω_n$ 中两点 Nevanlinna-Pick 插值的充要条件，从而完整解决了 2 点谱 Nevanlinna-Pick 问题。

ABSTRACT

We introduce the notion of a λ-nonisotropically balanced domain and show that the symmetrized polydisc in C^n, n \geq 2, is an example of such a domain. Given a λ-nonisotropically balanced domain Ω, we derive effective estimates from above and from below for the Lempert function at (0,z)\inΩ imesΩ. We use these estimates to derive certain conditions for realising a two-point Nevanlinna-Pick interpolation in the symmetrized polydisc. Applying the ideas used in the derivation of our Lempert function estimates to the so-called spectral unit ball Ω_n, we deduce: a) a formula for the Lempert function at (0,W)\inΩ_n imesΩ_n; and b) a necessary and sufficient condition for realising a two-point Nevanlinna- Pick interpolation in the spectral unit ball.

研究动机与目标

• 引入并研究 $Λ$-非各向同性平衡区域类，作为平衡区域的推广，以促进 Lempert 函数的分析。
• 推导 $Ω$ 为 $Λ$-非各向同性平衡区域时，$Ω$ 中 Lempert 函数 $χ_Ω(0,z)$ 的有效上下界估计，特别针对对称多圆盘 $G_n$。
• 将这些估计应用于推导对称多圆盘 $G_n$ 中两点 Nevanlinna-Pick 插值问题可解性的充要条件。
• 将该方法扩展至谱单位球 $Ω_n$，推导其 Lempert 函数的公式及两点插值的完整判别准则。

提出的方法

• 通过在 $\zeta \mapsto (\zeta^{\lambda_1}z_1, \dots, \zeta^{\lambda_n}z_n)$ 下的加权齐次性条件，引入 $Λ$-非各向同性平衡区域的概念，其中 $\zeta \in \overline{D}$。
• 利用 Lempert 函数定义 $\widetilde{\kappa}_\Omega(z_1,z_2) = \inf \{ p_D(0,\zeta) : \exists \varphi \in \mathcal{O}(D;\Omega), \varphi(0)=z_1, \varphi(\zeta)=z_2 \}$，将插值问题与全纯圆盘联系起来。
• 为区域定义 Minkowski 泛函 $h_{\Lambda,n}(z)$，并通过关系式 $\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z)) = \widetilde{\kappa}_\Omega(0,z)$ 将其与 Lempert 函数关联，其中 $\Omega$ 为 $Λ$-非各向同性平衡区域。
• 将该理论应用于对称多圆盘 $G_n$，证明其为 $(1,2,\dots,n)$-非各向同性平衡区域，并推导 $\widetilde{\kappa}_{G_n}(0,z)$ 的估计。
• 利用 Vesentini 定理证明谱单位球 $\Omega_n$ 是拟凸的，并将一般估计应用于推导 $\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W)$ 的公式。
• 通过不等式 $\tanh^{-1}(r(W)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$ 建立 $\Omega_n$ 中两点插值的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件可确保 $\Omega$ 的 Lempert 函数 $\widetilde{\kappa}_\Omega(0,z)$ 拥有有效的上下界？
• RQ2 如何利用 $\Lambda$-非各向同性平衡区域中 Lempert 函数的估计来求解对称多圆盘 $G_n$ 中的两点 Nevanlinna-Pick 插值问题？
• RQ3 谱单位球 $\Omega_n$ 中 Lempert 函数 $\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W)$ 的精确公式是什么？
• RQ4 存在全纯映射 $F: D \to \Omega_n$ 满足 $F(\zeta_1) = W_1$, $F(\zeta_2) = W_2$ 的充要条件是什么？
• RQ5 谱半径 $r(W)$ 与 $\Omega_n$ 中 Lempert 函数有何关系？

主要发现

• 对称多圆盘 $G_n$ 是 $(1,2,\dots,n)$-非各向同性平衡区域，为该类新区域提供了关键实例。
• 对于 $\Omega$ 为 $\Lambda$-非各向同性平衡区域的情形，Lempert 函数满足 $\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z)) \leq \widetilde{\kappa}_\Omega(0,z) \leq \tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z))$，当 $h_{\Lambda,n}(z) < 1$ 时，该估计为精确估计。
• 对 $G_n$ 中两点 Nevanlinna-Pick 插值问题，其充要条件为 $\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(p)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$，其中 $h_{\Lambda,n}(p)$ 为对称多圆盘的 Minkowski 泛函。
• 谱单位球 $\Omega_n$ 是拟凸的，因为谱半径 $r(W)$ 在 $M_n(\mathbb{C})$ 上是全纯凸函数，从而保证了该区域在插值问题中行为良好。
• 谱单位球中 Lempert 函数的公式为 $\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W) = \tanh^{-1}\left( \inf\left\{ t > 0 : \frac{1}{t} \sup_{|z|=1/t} |F_{s(W)}(z)| < 1 \right\} \right)$，其中 $s(W)$ 为 $W$ 的特征多项式系数向量。
• 在 $\Omega_n$ 中，两点 Nevanlinna-Pick 问题可解当且仅当 $\tanh^{-1}(r(W)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$，当 $r(W) = 0$ 时通过缩放和自同构复合处理等号情形。