[论文解读] Nonlinear contractions in metric spaces under locally T-transitive binary relations

Aftab Alam, Mohammad Imdad|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2015

Fixed Point Theorems Analysis被引用 3

一句话总结

本文在赋予局部 T-传递二元关系的度量空间中建立了非线性压缩映射的不动点定理，推广了 Boyd-Wong 和 Jocić 定理。在 T-闭性、局部 T-传递性及 φ-压缩条件下，证明了不动点的存在性与唯一性，扩展了关系理论不动点理论的先前结果，使其适用于非普遍关系，具有更广泛的应用性。

ABSTRACT

In this paper, we present a variant of Boyd-Wong fixed point theorem in a metric space equipped with a locally T-transitive binary relation, which under universal relation reduces to Boyd-Wong (Proc. Amer. Math. Soc. 20 (1969) 458-464) and Jotic (Indian J. Pure Appl. Math. 26 (1995) 947-952) fixed point theorems. Also, our results extend several other well-known fixed point theorems such as: Alam and Imdad (J. Fixed Point Theory Appl. 17 (4) (2015) 693-702) and Karapinar and Roldan-Lopez-de-Hierro (J. Inequal. Appl. 2014:522 (2014) 12 pp) besides some others.

研究动机与目标

• 通过引入局部 T-传递二元关系，推广度量空间中 Boyd-Wong 与 Jocić 不动点定理。
• 弱化现有关系理论不动点定理中对传递性或完备性的要求。
• 在统一框架下整合并推广 Alam 与 Imdad (2015)、Karapinar 与 Roldan-Lopez-de-Hierro (2014) 等人的结果。
• 建立在不假设连续性或全局传递性的条件下，自映射具有唯一不动点的条件。
• 证明局部 T-传递性与 T-闭性及 φ-压缩结合时，足以保证收敛性。

提出的方法

• 引入局部 T-传递二元关系的概念，作为传递性的推广，允许通过关系中的有限路径连接点。
• 定义二元关系的 T-闭性，确保若 (x,y) ∈ R，则 (Tx,Ty) ∈ R，即映射下关系保持不变。
• 使用控制函数 φ ∈ Φ，其中对所有 t > 0 有 φ(t) < t，且 lim_{r→t⁺} φ(r) < t，定义 φ-压缩：当 x,y 相关于 R 时，有 d(Tx,Ty) ≤ φ(d(x,y))。
• 通过在 T(X) 中的有限 R^s-连通路径上应用路径论证，证明迭代点之间的距离趋于零。
• 利用长度为 k 的有限路径上的三角不等式，将 d(x,y) 有界为 d(T^n z_i, T^n z_{i+1}) 项的和。
• 通过数学归纳法及 φ(t_n^i) < t_n^i 的性质，证明当 n → ∞ 时，该和中的每一项趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 Boyd-Wong 不动点定理能否推广至配备非必然传递或非普遍关系的度量空间？
• RQ2 何种结构条件足以保证在不假设连续性的情况下，φ-压缩映射存在不动点？
• RQ3 局部 T-传递性与全局传递性或完备性相比，在确保迭代收敛方面有何差异？
• RQ4 在何种条件下，T-闭性与局部 T-传递性联合可保证不动点的唯一性？
• RQ5 结果能否在统一框架下特化以恢复 Jocić 或 Nieto-Rodríguez-López 等人的已知定理？

主要发现

• 本文证明：若 T 是完备度量空间上具有局部 T-传递二元关系 R 的自映射，且 T 是 R-连续且 φ-压缩的，则 T 存在不动点。
• 若像集 T(X) 是 R^s-连通的，则不动点唯一，当 R|_T(X) 完备或 T(X) 是 R^s-方向集时该条件成立。
• 当 R 为全关系 X² 时，该结果退化为经典的 Boyd-Wong 定理。
• 当 R 为偏序关系时，该结果推广了 Nieto 与 Rodríguez-López (2005) 定理 1.3，前提是 T 为递增映射且空间具有 ICU 性质。
• 证明表明：对任意两个不动点 x 与 y，沿 R^s 中的有限路径，距离 d(x,y) 沿迭代趋于零，从而推出 x = y，其依据为 d(T^n z_i, T^n z_{i+1}) 趋于零。
• 作者证明局部 T-传递性对非线性压缩映射至关重要，因为仅靠 T-闭性不足以保证结果成立。