[论文解读] Nonlinear Galerkin Model Reduction for Systems with Multiple Transport Velocities

Felix Black, Philipp Schulze+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有多个传输速度的系统非线性伽辽金模型降阶框架，通过使用时变变换算子和任意基函数，实现高精度的低维近似。与经典方法不同，该方法投影到非线性流形上，从而在降低维度的同时实现更优的误差控制，并在特定情况下与对称性约化方法中的冻结法（method of freezing）建立联系。

ABSTRACT

We propose a new model reduction framework for problems that exhibit transport phenomena. As in the moving finite element method (MFEM), our method employs time-dependent transformation operators and, especially, generalizes MFEM to arbitrary basis functions. The new framework is suitable to obtain a low-dimensional approximation with small errors even in situations where classical model order reduction techniques require much higher dimensions for a similar approximation quality. Analogously to the MFEM framework, the reduced model is designed to minimize the residual, which is also the basis for an a-posteriori error bound. Moreover, since the dependence of the transformation operators on the reduced state is nonlinear, the resulting reduced order model is obtained by projecting the original evolution equation onto a nonlinear manifold. Furthermore, for a special case, we show a connection between our approach and the method of freezing, which is also known as symmetry reduction. Besides the construction of the reduced order model, we also analyze the problem of finding optimal basis functions based on given data of the full order solution. Especially, we show that the corresponding minimization problem has a solution and reduces to the proper orthogonal decomposition of transformed data in a special case. Finally, we demonstrate the effectiveness of our method with several analytical and numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种模型降阶框架，以有效处理经典方法在低维下难以实现高精度的多传输速度系统。
• 通过允许任意基函数和非线性变换算子，推广移动有限元法（MFEM）。
• 构建一个最小化残差并支持后验误差界 Reduced-Order Model。
• 从全阶解数据中推导出最优基函数选择策略，以确保最小近似误差。
• 在特定情况下，建立所提方法与冻结法（对称性约化）之间的理论联系。

提出的方法

• 该方法采用随时间变化的变换算子，动态适应解的演化结构，特别适用于传输主导型问题。
• 它将原始演化方程投影到由变换算子对降阶状态的非线性依赖关系所定义的非线性流形上。
• 通过最小化弱形式的残差推导出降阶模型，同时支持后验误差估计。
• 最优基函数通过在变换数据上求解最小化问题获得，该问题在特定情况下退化为本征正交分解（POD）。
• 该框架通过允许任意基函数（而不仅限于有限元形状）推广了MFEM，从而提升灵活性与精度。
• 建立了与冻结法的理论联系，表明在涉及系统对称性的特定条件下，二者具有等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有时变变换的非线性伽辽金框架是否能在多传输速度系统中实现比传统方法更优的模型降阶精度？
• RQ2 如何从全阶解数据中系统性地推导出最优基函数，以最小化近似误差？
• RQ3 所提方法在何种意义上超越了原始有限元约束，推广了移动有限元法？
• RQ4 在具有对称性的系统中，所提方法与冻结法（对称性约化）之间存在何种关系？
• RQ5 降阶模型中残差最小化原理是否能产生可靠的后验误差界？

主要发现

• 所提方法即使在经典模型降阶方法需显著提高维度才能实现高精度的情况下，仍能实现高精度的低维近似。
• 弱形式中残差的最小化导致了明确定义的后验误差界，增强了方法的可靠性。
• 最优基函数选择问题被证明存在解，且在特定情况下退化为变换数据的本征正交分解。
• 该框架通过允许任意基函数（不限于有限元空间）推广了MFEM，从而提升了灵活性与适用性。
• 建立了与冻结法的理论联系，证明所提方法在特定条件下包含对称性约化作为特例。
• 数值示例验证了该方法在低维下有效捕捉传输现象并保持高精度的有效性。