[论文解读] Nonlinear Hawkes Processes

Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 82被引用 50

一句话总结

本文建立了非线性霍克斯过程的中心极限定理与过程级大偏差，引入了基于制度的分类（次线性、次临界、临界、超临界、爆炸性），并推导了渐近行为与 ruin 概率估计。提供了速率函数的显式变分公式，并在一般条件下证明了大偏差原理，将经典结果扩展至非马尔可夫、自激发点过程，在风险理论与随机建模中具有应用价值。

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process that has long memory, clustering effect, self-exciting property and is in general non-Markovian. The future evolution of a self-exciting point process is influenced by the timing of the past events. There are applications in finance, neuroscience, genome analysis, seismology, sociology, criminology and many other fields. We first survey the known results about the theory and applications of both linear and nonlinear Hawkes processes. Then, we obtain the central limit theorem and process-level, i.e. level-3 large deviations for nonlinear Hawkes processes. The level-1 large deviation principle holds as a result of the contraction principle. We also provide an alternative variational formula for the rate function of the level-1 large deviations in the Markovian case. Next, we drop the usual assumptions on the nonlinear Hawkes process and categorize it into different regimes, i.e. sublinear, sub-critical, critical, super-critical and explosive regimes. We show the different time asymptotics in different regimes and obtain other properties as well. Finally, we study the limit theorems of linear Hawkes processes with random marks.

研究动机与目标

• 将非线性霍克斯过程的理论理解从线性、马尔可夫情形扩展至更一般情况。
• 为一般非线性霍克斯过程建立中心极限定理与过程级（三级）大偏差原理。
• 基于激发函数与强度函数，将非线性霍克斯过程划分为五种渐近制度。
• 为具有亚指数索赔的带标记霍克斯风险过程推导显式的大偏差速率函数与 ruin 概率估计。
• 在马尔可夫情形下提供速率函数的变分公式，并在最小假设下证明大偏差原理。

提出的方法

• 使用局部鞅与泛函极限定理技术，推导非线性霍克斯过程的中心极限定理。
• 应用压缩原理，从过程级（三级）大偏差推导出一级大偏差原理。
• 通过指数倾斜与超指数估计，建立三级大偏差的下界与上界。
• 基于强度函数 λ(z) 的增长与激发核 h(t) 的衰减，提出一种制度分类方法。
• 采用近似方法，推导一类特殊非线性霍克斯过程的大偏差。
• 应用变分方法并求解隐式方程，推导指数情形下速率函数的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同参数制度下（如次线性、临界与爆炸性情形），非线性霍克斯过程的渐近行为如何？
• RQ2 中心极限定理与大偏差原理如何推广至非线性、非马尔可夫霍克斯过程？
• RQ3 在马尔可夫情形下，若激发为指数分布，一级大偏差的速率函数的显式形式为何？
• RQ4 在带标记霍克斯索赔到达与亚指数索赔规模的风险模型中，ruin 概率的行为如何？
• RQ5 当索赔规模与索赔到达强度均为指数分布时，能否为无限与有限时间 horizon 的 ruin 概率推导显式公式？

主要发现

• 在一般条件下，非线性霍克斯过程的中心极限定理成立，收敛于高斯过程。
• 通过超指数估计与变分技术，建立了过程级大偏差原理。
• 在马尔可夫情形下，推导出速率函数的另一种变分公式，为大偏差速率提供了新的表示形式。
• 在爆炸性制度下，强度过程几乎必然在有限时间内发散；而在次线性制度下，其增长为次线性。
• 对于具有亚指数索赔的带标记霍克斯风险过程，无限时间 horizon 的 ruin 概率满足 ψ(u) ∼ C · B̄₀(u)（当 u → ∞ 时），其中常数 C 显式给出。
• 当索赔规模与激发核均为指数分布时，速率函数 I(x) 被显式计算为包含对数与平方根项的分段表达式。