[论文解读] Nonlinear parabolic stochastic evolution equations in critical spaces Part II. Blow-up criteria and instantaneous regularization

Antonio Agresti, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文为具有多项式非线性的非线性随机抛物PDEs在临界空间中建立了新的爆破准则，并提出了一种新颖的正则性提升方法，即使初始数据粗糙也适用。通过使用随机最大正则性理论与时间加权函数空间，证明了解的全局存在性与瞬时光滑性，即使初始数据不光滑也成立，将Serrin型准则推广至随机情形，并为随机Navier-Stokes方程和Allen-Cahn方程等SPDEs提供了更高阶正则性。

ABSTRACT

This paper is a continuation of Part I of this project, where we developed a new local well-posedness theory for nonlinear stochastic PDEs with Gaussian noise. In the current Part II we consider blow-up criteria and regularization phenomena. As in Part I we can allow nonlinearities with polynomial growth, and rough initial values from critical spaces. In the first main result we obtain several new blow-up criteria for quasi- and semilinear stochastic evolution equations. In particular, for semilinear equations we obtain a Serrin type blow-up criterium, which extends a recent result of Prüss-Simonett-Wilke (2018) to the stochastic setting. Blow-up criteria can be used to prove global well-posedness for SPDEs. As in Part I, maximal regularity techniques and weights in time play a central role in the proofs. Our second contribution is a new method to bootstrap Sobolev and Hölder regularity in time and space, which does not require smoothness of the initial data. The blow-up criteria are at the basis of these new methods. Moreover, in applications the bootstrap results can be combined with our blow-up criteria, to obtain efficient ways to prove global existence. This gives new results even in classical $L^2$-settings, which we illustrate for a concrete SPDE. In future works in preparation we apply the results of the current paper to obtain global well-posedness results, and regularity for several concrete SPDEs. These include stochastic Navier-Stokes, reaction diffusion equations, and Allen-Cahn equations. Our setting allows to put these SPDEs into a more flexible framework, where less restrictions on the nonlinearities are needed, and we are able to treat rough initial values from critical spaces. Moreover, we will obtain higher order regularity results.

研究动机与目标

• 在初始数据粗糙的临界空间中，为拟线性和半线性随机演化方程建立爆破准则。
• 发展一种新型正则化方法，无需假设初始数据光滑，即可在时间和空间中逐步提升Sobolev与Hölder正则性。
• 将爆破准则与正则化方法相结合，证明具有多项式非线性的SPDEs的全局存在性。
• 将Serrin型爆破准则推广至随机情形，推广近期的确定性结果。
• 为SPDEs提供一个灵活的框架，允许初始值粗糙且非线性项限制更宽松。

提出的方法

• 利用时间加权函数空间的随机最大 $ L^p $-正则性理论，以处理粗糙初始数据与一般非线性项。
• 应用概率工具与随机初始时间，建立随机情形下的局部适定性。
• 采用一种新颖的Bootstrap技术，通过时间加权推导出从爆破准则中获得更高阶正则性的方法。
• 通过能量型估计与临界Besov和Sobolev空间中的嵌入定理推导爆破准则。
• 利用复插值与迹理论，识别出反映SPDEs缩放性质的内在临界空间。
• 将该理论应用于具体SPDEs，如Allen-Cahn方程与随机Navier-Stokes方程，证明其全局存在性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在临界空间中，为具有多项式非线性项与粗糙初始数据的半线性及拟线性随机PDEs建立爆破准则？
• RQ2 如何在不假设初始数据光滑的条件下，实现时间和空间中Sobolev与Hölder正则性的逐步提升？
• RQ3 对于具有立方非线性项与色噪声的一维SPDE，其精确临界空间是什么？它与缩放性质有何关系？
• RQ4 Serrin型爆破准则能否推广至具有高斯噪声的SPDEs的随机情形？
• RQ5 爆破准则与正则化技术的结合，如何能导出SPDEs的全局存在性结果？

主要发现

• 为半线性SPDEs建立了Serrin型爆破准则，将近期确定性结果推广至随机情形。
• 识别出具有立方非线性项与色噪声的一维SPDE的临界空间为 $ B^{rac{1}{q}-rac{1}{2}}_{q,p} $，该空间为内在且缩放不变。
• 一维SPDE的解在几乎所有样本路径上均具有 $ H^{ heta,r}_{\text{loc}}(I_{\tau};H^{1-s-2\theta,q}(×)) $ 正则性，其中 $ r > 2 $ 且 $ \theta ∈ [0,1/2) $。
• Bootstrap方法实现了瞬时正则化：即使初始数据粗糙，解在初始时刻之后立即获得正则性。
• 当不满足爆破准则时，全局存在性得以保证，且该方法适用于随机Navier-Stokes方程与Allen-Cahn方程等SPDEs，对非线性项假设极少。
• 该框架允许算子对 $ (t,\omega) $ 可测依赖，无需噪声小量假设，且非线性项允许多项式增长，显著增强了适用性。