[论文解读] Nonlinear scalar field equations with $L^2$ constraint: Mountain pass and symmetric mountain pass approaches

Jun Hirata, Kazunaga Tanaka|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文通过一种新颖的拉格朗日公式和改进的Palais-Smale条件，建立了在 $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) 上具有 $L^2$ 约束的非线性标量场方程的径向对称解的存在性。在一般次临界非线性项下，证明了当 $m > m_0$ 时至少存在一个解，并通过约束流形上的极小极大方法，给出了最小能量水平的山路特征，扩展了先前的结果。

ABSTRACT

We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in ${\mathbb R}^N$ ($N\geq 2$): $$ (*)_m \left\{ \eqalign{ -&Δu = g(u) -μu \quad \hbox{in}\ {\mathbb R}^N, \cr &\| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)} = m, \cr &u \in H^1({\mathbb R}^N), \cr} ight. $$ where $g(ξ)\in C({\mathbb R},{\mathbb R})$, $m>0$ is a given constant and $μ\in {\mathbb R}$ is a Lagrange multiplier. We introduce a new approach using a Lagrange formulation of the problem $(*)_m$. We develop a new deformation argument under a new version of the Palais-Smale condition. For a general class of nonlinearities related to [BL1, BL2, HIT], it enables us to apply minimax argument for $L^2$ constraint problems and we show the existence of infinitely many solutions as well as mountain pass characterization of a minimizing solution of the problem: $$ \inf\left\{ \int_{{\mathbb R}^N} {1\over 2}| abla u|^2 - G(u)\, dx;\, \| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)}^2 = m ight\}, \quad G(ξ)=\int_0^ξg(τ)\, dτ. $$

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) 上，针对一般非线性项，建立具有 $L^2$ 约束的非线性标量场方程的径向对称解的存在性。
• 为 $L^2$-约束问题量身定制，提出一种适用于该问题缩放性质的新版本Palais-Smale条件。
• 通过问题的拉格朗日公式，提供最小能量水平 $\mathcal{I}_m$ 的山路特征。
• 在附加假设 $g(\xi)$ 为奇函数的条件下，将存在性结果推广至无穷多解。
• 证明 $m > m_0$ 当且仅当 $\mathcal{I}_m < 0$，其中 $m_0$ 为临界质量值。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R} \times H_r^1(\mathbb{R}^N)$ 上，将约束问题表述为拉格朗日泛函 $\mathcal{L}(\mu, u) = \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 - \int G(u) + \frac{\mu}{2}(\|u\|_{L^2}^2 - m)$。
• 提出一种适配于 $L^2$ 约束及问题缩放性质的改进版Palais-Smale条件。
• 对拉格朗日泛函应用极小极大方法，包括山路法与对称山路法，以寻找临界点。
• 采用受Hirata-Ikoma-Tanaka与Jeanjean启发的缩放论证，生成满足Pohozaev型恒等式的Palais-Smale序列。
• 结合亏格理论与变形论证，证明在 $g(\xi)$ 为奇函数条件下的紧致性与多解存在性。
• 在给定假设下，证明山路水平 $b_{mp}$ 与最小能量水平 $\mathcal{I}_m$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $L^2$-约束非线性标量场方程，山路水平 $b_{mp}$ 是否与最小能量水平 $\mathcal{I}_m$ 一致？
• RQ2 能否为 $L^2$ 约束问题构造一种新的Palais-Smale条件，以确保极小化序列的紧致性？
• RQ3 在何种条件下，$L^2$-约束问题 $(*)_{m}$ 对所有 $m > 0$ 均至少存在一个解？
• RQ4 在 $g(\xi)$ 为奇函数的条件下，能否证明存在无穷多组径向对称解？
• RQ5 精确的临界阈值 $m_0$ 是什么？它与 $\mathcal{I}_m$ 的符号有何关联？

主要发现

• 当 $m > m_0$ 时，问题 $(*)_{m}$ 至少存在一个径向对称解，其中 $m_0 \in [0, \infty)$ 为依赖于非线性项的临界质量阈值。
• 若 $\lim_{\xi \to 0} \frac{g(\xi)}{|\xi|^{4/N}\xi} = \infty$，则 $m_0 = 0$，意味着对所有 $m > 0$ 均存在解。
• 山路水平 $b_{mp}$ 等于最小能量水平 $\mathcal{I}_m$，从而为基态解提供了极小极大特征。
• $m > m_0$ 当且仅当 $\mathcal{I}_m < 0$，将解的存在性阈值与下确界能量的符号联系起来。
• 在 $g(-\xi) = -g(\xi)$ 的奇性条件下，问题存在无穷多组径向对称解。
• 在改进的Palais-Smale条件下提出的新变形论证，确保了Palais-Smale序列的收敛性，从而使得极小极大方法可应用于 $L^2$-约束问题。