[论文解读] Nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type with flat metrics, integrable hierarchies and the equations of associativity

O. I. Mokhov|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文对具有平坦度量的非局部哈密顿算子（水力学类型）进行了完整分类，证明其与弗罗贝尼乌斯流形及二维拓扑量子场论中的结合性方程存在本质联系。研究证明，此类算子可生成可积层次结构、相容的哈密顿算子铅笔以及对合积分系统，其解可通过伪欧几里得空间中平坦子流形的几何实现来构造结合性方程。

ABSTRACT

We solve the problem of describing all nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type with flat metrics. This problem is also equivalent to the description of all flat submanifolds with flat normal bundle in a pseudo-Euclidean space. It is proved that every such Hamiltonian operator (or the submanifold corresponding to the operator) gives a pencil of compatible Poisson brackets, generates bi-Hamiltonian integrable hierarchies of hydrodynamic type, and also defines a family of integrals in involution. We prove that a natural special class of such Hamiltonian operators (submanifolds) is described exactly by the equations of associativity of two-dimensional topological quantum field theory (the Witten--Dijkgraaf--Verlinde--Verlinde and Dubrovin equations). It is shown that locally any N-dimensional Frobenius manifold can be presented by a certain special flat N-dimensional submanifold with flat normal bundle in a 2N-dimensional pseudo-Euclidean space. This submanifold is defined uniquely up to motions.

研究动机与目标

• 对所有具有平坦度量的非局部哈密顿算子（水力学类型）进行分类。
• 建立此类算子与二维拓扑量子场论中结合性方程之间的联系。
• 证明这些算子可生成可积结构流及相容的哈密顿算子铅笔。
• 表明这些算子的仿射算子可产生对合积分，且结合性方程描述了此类积分的一个关键类别。
• 证明任意N维弗罗贝尼乌斯流形在局部上对应于一个2N维伪欧几里得空间中具有平坦法丛的N维平坦子流形。

提出的方法

• 本文采用具有对称协变度量及涉及仿射算子和逆导数的非局部项的非局部哈密顿算子的一般形式。
• 应用哈密顿性质条件：度量的Levi-Civita联络，仿射算子的对称性与相容性条件，以及涉及黎曼曲率张量的曲率关系。
• 该方法通过非退化常矩阵将算子变换为标准形式，同时保持哈密顿结构不变。
• 通过Peterson–Bonnet定理实现弗罗贝尼乌斯流形的几何实现，即在伪欧几里得空间中嵌入具有平坦法丛的平坦子流形。
• 证明结合性方程等价于嵌入子流形的高斯方程与Ricci方程。
• 通过势函数Φ(u)定义第二基本形式，进而推导出仿射算子与结构流。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平坦度量的非局部哈密顿算子（水力学类型）的完整分类是什么？
• RQ2 这些算子与二维拓扑量子场论中结合性方程有何关联？
• RQ3 这些算子是否总是生成可积层次结构和相容的哈密顿算子铅笔？
• RQ4 这些算子的仿射算子能否产生对合积分？结合性方程在此类积分中起什么作用？
• RQ5 是否存在弗罗贝尼乌斯流形在伪欧几里得空间中作为具有平坦法丛的平坦子流形的几何实现？

主要发现

• 所有具有平坦度量的非局部哈密顿算子（水力学类型）均被完整分类，且与结合性方程的解一一对应。
• 此类算子始终生成水力学类型的可积结构流，且与Dubrovin层次结构的主部一致。
• 这些算子的仿射算子生成一类特殊的对合积分，其中结合性方程描述了此类积分的根本子类。
• 任意N维弗罗贝尼乌斯流形在局部上唯一对应于一个2N维伪欧几里得空间中具有平坦法丛的N维平坦子流形（至多相差刚体运动）。
• 结合性方程在几何上等价于嵌入子流形的高斯方程与Ricci方程，证实其在算子几何中的内在作用。
• 以N=3且度量为反对角矩阵的明确例子，得到与Dubrovin关于f(u²,u³)的可积方程等价的系统，并给出了显式多项式解。