[论文解读] Nonreflexive Banach SSD spaces

Stephen Simons|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过引入巴拿赫 SSD 空间和 VZ 函数，统一了 SSD 空间、强可表示多值函数以及极大单调算子的理论。研究证明，巴拿赫 SSD 空间上的下极限连续 VZ 函数可生成极大 q-正则集，且其内在共轭函数保持该结构，从而通过 NI 性质对强可表示单调算子进行了表征。

ABSTRACT

In this paper, we unify the theory of SSD spaces, part of the theory of strongly representable multifunctions, and the theory of the equivalence of various classes of maximally monotone multifunctions.

研究动机与目标

• 统一三个不同领域：SSD 空间、强可表示多值函数与极大单调算子。
• 引入并分析具有相容范数结构的巴拿赫 SSD 空间及 VZ 函数。
• 通过极大 q-正则集建立 VZ 函数与其内在共轭之间的对偶性。
• 通过负对齐与对偶性，将强可表示单调多值函数表征为 (NI) 类型。

提出的方法

• 引入具有对称自对偶双线性形式与相容范数结构的巴拿赫 SSD 空间概念。
• 利用范数与下极限连续性在巴拿赫 SSD 空间上定义 VZ 函数，通过映射 $\mathcal{P}(f)$ 将其与 q-正则集联系起来。
• 在 SSD 空间上为适当凸函数引入内在共轭 $f^{\,@}$，并证明其保持 VZ 性质。
• 利用 Rockafellar 的和的共轭公式，在 $\widetilde{p}$-稠密条件下证明 MAS 与 VZ 函数之间的等价性。
• 对 $E \times E^*$ 应用负对齐分析，以推广 [4]、[15] 与 [5] 的结果。
• 在附录中使用非豪斯多夫 Fenchel-Moreau 定理，以支持非局部紧空间中的对偶性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 巴拿赫 SSD 空间上的 VZ 函数通过 $\mathcal{P}(f)$ 构造与极大 q-正则集之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，巴拿赫 SSD 对偶空间中的 MAS 函数与 VZ 函数重合？
• RQ3 能否通过内在共轭与对偶性建立强可表示性与 (NI) 类型单调多值函数之间的等价性？
• RQ4 具有多种范数的 $E \times E^*$ 结构如何作为巴拿赫 SSD 空间的典范模型？
• RQ5 非豪斯多夫 Fenchel-Moreau 定理在将对偶性推广至非局部紧空间中起到何种作用？

主要发现

• 巴拿赫 SSD 空间上的下极限连续 VZ 函数通过 $\mathcal{P}(f)$ 生成极大 q-正则集，且其内在共轭 $f^{\,@}$ 也是 VZ 函数，满足 $\mathcal{P}(f^{\,@}) = \mathcal{P}(f)$。
• 在 $\widetilde{p}$-稠密条件下，巴拿赫 SSD 对偶空间上的 MAS 函数与 VZ 函数重合。
• VZ 函数类在内在共轭下保持不变，从而为单调算子建立了对偶框架。
• 在 $E \times E^*$ 设置下，结果推广并强化了 [4]、[15] 与 [5] 中的先前等价关系，尤其将强可表示性与 NI 性质联系起来。
• 本文证明：一个极大单调多值函数是强可表示的，当且仅当它是 (NI) 类型，该结论基于负对齐与对偶性。