[论文解读] Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of 1-nearly independent vertex subsets

Eric O. D. Andriantiana, Zekhaya B. Shozi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

本文推导了关于1-近似独立顶点子集数量的Nordhaus-Gaddum型界，给出紧界的下界和上界，并识别极值图与树。

ABSTRACT

For a graph $G$, a vertex subset is called \emph{$1$-nearly independent} if the subgraph it induces contains exactly one edge. Let $σ_1(G)$ denote the number of such subsets in $G$. In this paper, we study Nordhaus-Gaddum type inequalities for $σ_1$, that is, bounds on the sum $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})$, where $\overline{G}$ denotes the complement of $G$. We establish that, for any $n$-vertex graph $G$, we have $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})\geq n(n-1)/2,$ with equality if and only if $G$ is either complete or edgeless. We further obtain that among all trees of order $n$, the star $K_{1,n-1}$ uniquely minimises $σ_1(T)+σ_1(\overline{T})$. Finally, we prove that for all graphs of order $n \ge 6$, \[ σ_1(G)+σ_1(\overline{G}) \le \frac{27}{64}\,2^{n} + \frac{1}{2}(n+2)(n-3), \] with equality if and only if $G$ or $\overline{G}$ is isomorphic to $3K_2 \cup \overline{K_{n-6}}$.

研究动机与目标

• 将σ1作为图中独立子集的自然扩展进行研究的动机与背景。
• 给出n顶点图中σ1(G)+σ1(Ḡ)的紧界下界和上界。
• 刻画达到这些界等价的极值图与树。
• 扩展关于1-近似独立子集与图结构（完全图、无边图、星形图以及特定并集）之间关系的理解。

提出的方法

• 利用σ1(G)的已知递推关系（引理1）通过删除顶点及其邻域来分解计数。
• 利用“好图”概念，即σ1(G)=|E(G)|（命题2）。
• 通过极值图构造与分类讨论来推导一般图与树的紧界。
• 利用先前得到的σ1在图中的极值结果（定理1）来指引σ1(G)+σ1(Ḡ)的界。
• 通过结构形式如完全图、星形图及涉及3K2与其补图的并集等来刻画等价情况。
• 给出选定极值配置的显式公式（如3K2∪Ḱn−6）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有n顶点图G，σ1(G)+σ1(Ḡ)的紧下界和紧上界是什么？
• RQ2 哪些图或图族达到这些界（极值图），在何种条件下？
• RQ3 在树的极值结构中，σ1(T)+σ1(Ḋ)的极值结构为何，哪棵树使和达到最小？
• RQ4 在补运算下σ1的行为如何，已知的σ1极值结果如何影响σ1(G)+σ1(Ḡ)的界？
• RQ5 能否将最大和的显式极值图刻画得比现有候选如3K2∪Ḱn−6更全面？

主要发现

• 对于任意n顶点的G，σ1(G)+σ1(Ḡ) ≥ n(n−1)/2，等式当且仅当G为K_n或Ḱn。
• 在阶数为n的树中，星形树K1,n−1唯一使σ1(T)+σ1(Ḋ)达到最小。
• 当n≥6时，σ1(G)+σ1(Ḡ) ≤ (27/64)·2^n + (1/2)(n+2)(n−3)，等式当且仅当G或Ḡ ≅ 3K2 ∪ Ḱn−6。
• 极值图包括σ1(3K2∪Ḱn−6)+σ1(Ḡ)与上界相符，以及如K_n和K_{n−6}∨G_{6,4}等形式在达到界时的相关表现。
• 最大情形与已知的σ1在G上的极值结果一致，确认同一配置在与其补图的和上也达到最大。
• 论文提供6≤n≤9的SageMath验证以及n≥10的详尽归纳证明。