[论文解读] Normal Hopf subalgebras, depth two and Galois extensions

Lars Kadison|ArXiv.org|Nov 6, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文证明了深度二扩张的左自同态环通过一个 $ R $-双代数胚成为基代数的对偶代数上的左伽罗瓦扩张，并证明了一个霍普夫子代数是正规的当且仅当它是一个霍普夫-伽罗瓦扩张。此外，本文将弱霍普夫-伽罗瓦扩张刻画为深度二扩张，并证明在有限维弱霍普夫代数情形下，伽罗瓦映射的满射性蕴含其双射性。

ABSTRACT

Let $S$ be the left $R$-bialgebroid of a depth two extension with centralizer $R$ as defined in math.QA/0108067. We show that the left endomorphism ring of depth two extension, not necessarily balanced, is a left $S$-Galois extension of $A^{ m op}$. Looking to examples of depth two, we establish that a Hopf subalgebra is normal if and only if it is a Hopf-Galois extension. We find a class of examples of the alternative Hopf algebroids in math.QA/0302325. We also characterize finite weak Hopf-Galois extensions using an alternate Galois canonical mapping with several corollaries: that these are depth two and that surjectivity of the Galois mapping implies its bijectivity.

研究动机与目标

• 建立深度二扩张与双代数胚作用之间的伽罗瓦对应，特别是针对左自同态环。
• 解决深度二霍普夫子代数是否恰好是正规霍普夫子代数的问题。
• 刻画弱霍普夫-伽罗瓦扩张，并在满射性条件下证明其为深度二且伽罗瓦映射为双射。
• 从伽罗瓦映射重构弱双代数的对合元，推广施劳恩堡对双代数的结果。
• 利用卡纳茨基可分代数和对称可分元素，提供非对偶霍普夫胚的新例子。

提出的方法

• 使用左自同态环 $\mathcal{E} = \mathrm{End}_B A$，并构造一个关于 $A^{\mathrm{op}}$ 的左 $S$-伽罗瓦扩张，其中 $S$ 是深度二扩张的 $R$-双代数胚。
• 应用替代伽罗瓦映射 $\beta' : A \otimes_B A \to A \otimes H$，定义为 $\beta'(a \otimes a') = a_{(0)}a' \otimes a_{(1)}$，以刻画弱霍普夫-伽罗瓦扩张。
• 利用包含同构的交换图，证明伽罗瓦映射通过关键结构分解，从而在满射性条件下证明其双射性。
• 通过 $S(h) = \sum_i \varepsilon(\ell_i(h)_{(1)} r_i(h)) \ell_i(h)_{(2)}$ 定义对合元 $S: H \to H$，其中 $\ell_i, r_i$ 是伽罗瓦结构中的典范元素。
• 利用典范元素 $\ell_i, r_i$ 和幂等元 $\Pi^L, \Pi^R$ 验证弱霍普夫代数中对合元公理。
• 应用双代数胚理论和伽罗瓦扩张的结果，包括使用中心化子 $R = C_A(B)$ 和张量平方中心性来定义深度二扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍普夫子代数是正规的当且仅当它是霍普夫-伽罗瓦扩张吗？
• RQ2 若弱霍普夫-伽罗瓦扩张的伽罗瓦映射是满射，能否证明其为双射？
• RQ3 一个弱双代数在域上代数上作用伽罗瓦时，是否必然存在对合元？
• RQ4 弱双代数的对合元能否从其伽罗瓦结构中重构？
• RQ5 非对偶霍普夫胚的新例子是什么？它们如何从卡纳茨基可分代数中产生？

主要发现

• 即使在不假设平衡或忠实平坦性条件的情况下，左自同态环 $\mathcal{E} = \mathrm{End}_B A$ 仍是 $A^{\mathrm{op}}$ 上的左 $S$-伽罗瓦扩张。
• 霍普夫子代数是正规的当且仅当它是霍普夫-伽罗瓦扩张，解决了深度二扩张背景下的一项猜想。
• 弱霍普夫-伽罗瓦扩张是深度二扩张，且对于有限维弱霍普夫代数，伽罗瓦映射 $\beta'$ 的满射性蕴含其双射性。
• 作用伽罗瓦于代数 $A$ 的弱双代数 $H$ 的对合元可从伽罗瓦结构中重构，公式为 $S(h) = \sum_i \varepsilon(\ell_i(h)_{(1)} r_i(h)) \ell_i(h)_{(2)}$。
• 通过使用对称可分元素进行扭变，从卡纳茨基可分代数中产生了一类新的非对偶霍普夫胚。
• 弱霍普夫代数的伽罗瓦同构通过其目标子代数分解，提供了新的结构分解。