[论文解读] Normalisateurs et groupes d'Artin-Tits de type sphérique

Eddy Godelle|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明，在球面型Artin-Tits群中，任意标准抛物子群 $A_X$ 的正规化子与共轭子群完全一致，且同构于 $A_X$ 与其在 $A_S$ 中的拟中心化子的直积。关键结果通过建立Artin-Tits群与关联Coxeter群之间商群的典范同构，将Paris的早期工作推广至无需假设生成集 $X$ 不可约的情形。

ABSTRACT

Let $(A_S,S)$ be an Artin-Tits and $X$ a subset of $S$ ; denote by $A_X$ the subgroup of $A_S$ generated by $X$. When $A_S$ is of spherical type, we prove that the normalizer and the commensurator of $A_X$ in $A_S$ are equal and are the product of $A_X$ by the quasi-centralizer of $A_X$ in $A_S$. Looking to the associated monoids $A_S^+$ and $A_X^+$, we describe the quasi-centralizer of $A_X^+$ in $A_S^+$ thanks to results in Coxeter groups. These two results generalize earlier results of Paris. Finaly, we compare, in the spherical case, the normalizer of a parabolic subgroup in the Artin-Tits group and in the Coxeter group.

研究动机与目标

• 通过去除对生成集 $X$ 不可约性的假设，推广Paris在Artin-Tits群正规化子方面的工作。
• 刻画球面型Artin-Tits群 $A_S$ 中标准抛物子群 $A_X$ 的正规化子与共轭子群。
• 利用Coxeter群的结果，描述 $A_X^+$ 在正子半群 $A_S^+$ 中的拟中心化子。
• 比较Artin-Tits群中抛物子群的正规化子与其关联Coxeter群中的对应结构。
• 在 $A_S$ 中的正规化子商群与 $W_S$ 中的对应商群之间建立结构同构。

提出的方法

• 利用 $X$-约化元素与 $X$-带状结构分析正子半群 $A_S^+$ 中的共轭元素。
• 应用典范投影 $p: A_S \to W_S$，将Artin-Tits群元素与其对应的Coxeter群像关联起来。
• 采用通过球面部分的基本元素 $\Delta_{X(t)}$ 定义的初等正 $Y$-带状-$X$ 元素概念。
• 证明 $Conj^+(S;X,Y)$ 中的元素恰好是初等正 $X_i$-带状-$X_{i-1}$ 元素的有限乘积。
• 利用分解式 $N_{A_S}(A_X) = A_X \cdot QZ_{A_S}(A_X)$ 作为基础结构恒等式。
• 通过由 $p$ 导出的满射与单射同态，证明同构关系 $N_{A_S}(A_X)/(Z_{A_S}(A_X) \cdot A_X) \simeq N_{W_S}(W_X)/(Z_{W_S}(W_X) \cdot W_X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，球面型Artin-Tits群中标准抛物子群 $A_X$ 的正规化子与共轭子群相等？
• RQ2 如何利用Coxeter群的结果描述 $A_X^+$ 在正子半群 $A_S^+$ 中的拟中心化子？
• RQ3 Artin-Tits群中抛物子群的正规化子与其关联Coxeter群中的像之间存在何种关系？
• RQ4 Artin-Tits群中正规化子的结构能否分解为 $A_X$ 与其拟中心化子的直积？
• RQ5 在 $A_S$ 与 $W_S$ 中的商正规化子之间的同构是否为典范的且完全刻画？

主要发现

• 当 $A_S$ 为球面型时，$A_X$ 在 $A_S$ 中的正规化子与共轭子群相等，且同构于 $A_X \cdot QZ_{A_S}(A_X)$。
• 拟中心化子 $QZ_{A_S}(A_X)$ 通过涉及 $\Delta_X^\epsilon$ 与 $X$-约化元素的乘积结构得以刻画。
• 正共轭元素 $Conj^+(S;X,Y)$ 恰好是初等正 $X_i$-带状-$X_{i-1}$ 元素的乘积。
• 正规化子商群 $N_{A_S}(A_X)/(Z_{A_S}(A_X) \cdot A_X)$ 通过典范投影 $p$ 同构于 $N_{W_S}(W_X)/(Z_{W_S}(W_X) \cdot W_X)$。
• 投影 $p: H_X \to G_X$ 是满射，并在商正规化子之间诱导出同构。
• 诱导同态 $\widetilde{p}$ 的核为平凡，从而证明了单射性，因此在商群之间建立了完整的同构关系。