[论文解读] Normalized classes of generalized Burgers equations

Oleksandr A. Pocheketa|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文引入广义Burgers方程的一系列归一化类的层级结构，证明其等价群胚由等价群生成，从而简化了群分类。通过Hopf–Cole变换，将可线性化的广义Burgers方程与线性演化方程联系起来，表明尽管线性类是半归一化的，但非线性类由于缺乏基于叠加原理的容许变换，仍保持归一化。

ABSTRACT

A hierarchy of normalized classes of generalized Burgers equations is studied. The equivalence groupoids of these classes are computed. The equivalence groupoids of classes of linearizable generalized Burgers equations are related to those of the associated linear counterparts using the Hopf--Cole transformation.

研究动机与目标

• 研究广义Burgers方程类的归一化性质，以实现简化群分类。
• 通过Hopf–Cole变换分析线性化广义Burgers方程与其线性对应类之间等价群胚的关系。
• 识别出即使在母类不归一化时仍保持归一化的广义Burgers方程子类。
• 阐明叠加原理在破坏线性方程归一化性的同时，如何保持其非线性对应类的归一化性。

提出的方法

• 通过形如 $ \tilde{t} = T(t), \tilde{x} = X(t,x), \tilde{u} = U^1(t,x)u + U^0(t,x) $ 的点变换，推导广义Burgers方程超类的容许变换一般形式，从而导出等价群胚的确定方程。
• 应用Hopf–Cole变换 $ u = 2v_x / v $，将线性演化方程 $ v_t + a v_{xx} + b v_x + c v = 0 $ 与广义Burgers方程 $ u_t + a u_{xx} + (a_x + b) u_x + \frac{1}{2} a_x u^2 + b_x u + f = 0 $ 联系起来，保持等价群胚结构不变。
• 利用确定方程中不存在分类条件来证明归一化：若任意元素与变换参数之间无约束关系，则该类为归一化类。
• 分析具有变系数扩散项的子类，表明尽管某一子类不归一化，但通过 $ f_{xxx} $ 的约束可将其划分为两个归一化子类。
• 通过利用归一化结构，应用代数方法进行群分类，将问题简化为等价群的子群分析。
• 将经典Burgers方程作为归一化类进行分析，确认其完整的点对称群与等价群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下广义Burgers方程类是归一化的？这如何简化群分类？
• RQ2 Hopf–Cole变换如何关联线性与非线性广义Burgers方程的等价群胚？
• RQ3 为何线性演化方程类是半归一化的，而其对应的可线性化广义Burgers方程类仍保持归一化？
• RQ4 具有 $ f_{xxx} = 0 $ 的广义Burgers方程子类的等价群胚结构为何？与一般情况有何不同？
• RQ5 非归一化的广义Burgers方程类能否被划分为归一化子类？若能，其条件是什么？

主要发现

• 广义Burgers方程的超类 $ u_t + F(t,x,u)u_{xx} + H^1(t,x,u)u_x + H^0(t,x,u) = 0 $ 是归一化的，因其等价群胚完全由其等价群生成，且无分类条件。
• 具有变系数的可线性化广义Burgers方程类是归一化的，尽管其线性对应类仅是半归一化的，原因在于叠加原理的存在。
• 对于 $ f_{xxx} = 0 $ 的子类，其等价群胚由涉及 $ T(t) $ 与 $ X^0(t) $ 的常微分方程组确定，且该类允许一个非平凡的广义扩展等价群。
• 经典Burgers方程 $ u_t + u u_x + u_{xx} = 0 $ 构成一个归一化类，其完整的点对称群由五个向量场生成，并具有Möbius型变换群。
• 变换 $ \tilde{t} = c_1^2 t + c_0, \tilde{x} = \rho c_1 x + c_2 t + c_3, \tilde{u} = \frac{\rho c_1 u + c_2 t + c_3}{c_1^2}, \tilde{f} = \rho^2 f $ 生成了 $ f_{xxx} = 0 $ 子类的等价群，证实其归一化性质。
• 在子类如 $ u_t + u u_x + f(t) u_{xx} = 0 $ 中，尽管其与其它类相交，但相对于更广泛类（12）的等价群，该类仍保持归一化。