[论文解读] Note on Min- k-Planar Drawings of Graphs

Petr Hliněný, Ködmön, Lili|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文证明，对于 k ≥ 2 的情况，min-k 平面图——即每对交叉边中至少有一条边的交叉次数不超过 k——在简单绘制与一般绘制中的行为存在根本性差异。作者证明，对于任意大的固定 k，存在具有 min-2-平面或 min-3-平面绘制的图，其无法拥有任何简单 min-k-平面绘制，即使禁止相邻边交叉。这揭示了在一般 min-k-平面绘制与简单 min-k-平面绘制之间存在关键区别，而这一点在 k-平面图中仅在 k ≥ 4 时才成问题。

ABSTRACT

The k-planar graphs, which are (usually with small values of k such as 1,2,3) subject to recent intense research, admit a drawing in which edges are allowed to cross, but each one edge is allowed to carry at most k crossings. In recently introduced [Binucci et al., GD 2023] min-k-planar drawings of graphs, edges may possibly carry more than k crossings, but in any two crossing edges, at least one of the two must have at most k crossings. In both concepts, one may consider general drawings or a popular restricted concept of drawings called simple. In a simple drawing, every two edges are allowed to cross at most once, and any two edges which share a vertex are forbidden to cross. While, regarding the former concept, it is for k ≤ 3 known (but perhaps not widely known) that every general k-planar graph admits a simple k-planar drawing and this ceases to be true for any k ≤ 4, the difference between general and simple drawings in the latter concept is more striking. We prove that there exist graphs with a min-2-planar drawing, or with a min-3-planar drawing avoiding crossings of adjacent edges, which have no simple min-k-planar drawings for arbitrarily large fixed k.

研究动机与目标

• 阐明在 min-k-平面图背景下，一般绘制与简单绘制之间的区别。
• 研究关于简单 min-k-平面绘制的结果是否可推广至一般 min-k-平面绘制。
• 证明对于 k ≥ 2，min-k-平面绘制中的简化假设并非无损一般性。
• 构造显式反例，表明 min-2-平面图与 min-3-平面图在任意大的 k 下可能不具有简单 min-k-平面绘制。
• 开发一种技术工具（带 t-放大作用的锚定绘制），以在未来研究中将 min-k-平面绘制约束在刚性框架内。

提出的方法

• 构建一个基础图 H0 作为具有 d 根辐条的双轮图，然后构造其平面对偶图 H*0，并将 H0 与 H*0 组合形成 H1。
• 将 H0 中的中心顶点 w2 拆分为 a 个顶点，每个顶点连接到 2kℓ + 2k + 1 个连续的辐条，形成具有锚点集 A 的 H2。
• 对对偶子图 H''2 应用 t-放大作用，生成 Ht2，其中 t 的选择基于引理 3.1 以强制产生重边。
• 利用 Jordan 曲线定理证明，任何穿过从锚点到 w1 的路径的边必须交叉 Ht2 中至少 k+1 条边，因此为重边。
• 应用引理 3.2 证明，在任意 min-k-平面绘制中，图 G 的子绘制可被形变，使得锚点位于圆盘边界上，其余部分 G 位于内部。
• 使用类似拉姆齐理论的论证（为清晰起见已简化），以限制所需交叉次数，并确保当边交叉过多重边时产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 min-2-平面图是否都存在一个对于任意大的 k 的简单 min-k-平面绘制？
• RQ2 当 k ≥ 2 时，关于简单 min-k-平面绘制的结果是否适用于一般 min-k-平面绘制？
• RQ3 即使避免相邻边交叉，具有 min-3-平面绘制的图是否仍可能在 k 很大时缺乏简单 min-k-平面绘制？
• RQ4 在 k ≤ 3 的 k-平面图中，简化假设是无损一般性的，那么对于 min-k-平面图，该假设在 k ≥ 2 时是否也无损一般性？
• RQ5 可使用哪些技术工具将 min-k-平面绘制约束在刚性结构中，以证明不可实现性结果？

主要发现

• 存在具有 min-2-平面绘制的图，其对于任意固定的大的 k 都无法拥有任何简单 min-k-平面绘制。
• 类似地，存在具有 min-3-平面绘制（且无相邻边交叉）的图，其对于任意大的 k 也无法拥有简单 min-k-平面绘制。
• 对于 k ≥ 2，一般 min-k-平面绘制与简单 min-k-平面绘制之间的区别具有重要意义，而这一点在 k-平面图中仅在 k ≥ 4 时才成问题。
• 对于 k ≥ 2，即使禁止相邻边交叉，min-k-平面绘制中的简化假设也并非无损一般性。
• 本文构建了一项技术工具——带 t-放大作用的锚定绘制——可强制边为重边，并支持基于矛盾的不可实现性证明。
• 结果表明，对于 k ≥ 2，已发表的关于简单 min-k-平面图的研究结果可能无法推广至一般 min-k-平面图，这引发了对这些推广有效性的担忧。