[论文解读] Note on multiple q-zeta functions

T. Kim|ArXiv.org|Dec 30, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文将多重 q-zeta 函数 ζ_r,q^E(s,x) 定义为复平面上多重 q-Euler zeta 函数的解析延拓。通过梅林变换、洛朗级数展开及柯西留数定理，建立了函数方程，并证明了 ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x)，将该函数与多重 q-Euler 多项式联系起来，同时推广了 q-分析中的狄利克雷型 L-函数。

ABSTRACT

In this paper, we construct the alternating multiple q-zeta function(= Multiple Euler q-zeta function) and investigate their properties. Finally, we give some interesting functional eauations related to q-Euler polynomials.

研究动机与目标

• 在复 s 平面中定义并研究多重 q-Euler zeta 函数 ζ_r,q^E(s,x) 的解析延拓。
• 利用洛朗级数展开和柯西留数定理，建立函数方程并分析其在极点附近的性质。
• 推广具有多重阶 r 的狄利克雷型 q-Euler L-函数，并将其与多重 q-Euler 多项式关联。
• 通过特征和与 q-整数恒等式，推导出多重 q-Euler 多项式阶 r 的分布关系。
• 利用 q-分析技术，将已知的 q-zeta 与 q-Euler 函数结果推广至多重与广义情形。

提出的方法

• 将多重 q-zeta 函数定义为 ζ_r,q^E(s,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} / [x + m₁ + ⋯ + mᵣ]_q^s，其中 |q| < 1 且 Re(x) > 0。
• 对生成函数 F_q^(r)(t,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} e^{[m₁+⋯+mᵣ+x]_qt} 应用梅林变换，通过 ∫₀^∞ t^s−1 F_q^(r)(−t,x) dt / Γ(s) 推导出 ζ_r,q^E(s,x)。
• 利用洛朗级数展开和柯西留数定理，计算负整数处的特殊值：ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x)。
• 通过代换 m_j = f n_j + a_j 推导出多重 q-Euler 多项式的分布关系，得到 E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f)。
• 通过狄利克雷特征 χ（奇导子 f）推广至 l_q^(r)(s,x|χ) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^∑mᵢ χ(m₁)⋯χ(mᵣ) / [m₁+⋯+mᵣ+x]_q^s。
• 建立函数方程 l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在复 s 平面中对多重 q-Euler zeta 函数 ζ_r,q^E(s,x) 进行解析延拓？
• RQ2 对于奇导子 f 的狄利克雷特征 χ，函数方程如何将 l_q^(r)(s,x|χ) 与 ζ_r,q^f^E(s,x) 关联？
• RQ3 多重 q-Euler 多项式 E_n,q^(r)(x) 的分布关系为何？
• RQ4 特殊值 ζ_r,q^E(−n,x) 如何与负整数处的多重 q-Euler 多项式 E_n,q^(r)(x) 关联？
• RQ5 通过梅林变换与留数微积分，多重 q-zeta 函数与广义 q-Euler 数之间有何关联？

主要发现

• 多重 q-zeta 函数 ζ_r,q^E(s,x) 在整个复 s 平面上是亚纯函数，其极点可能出现在非正整数处。
• 负整数处的特殊值满足 ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x)，建立了 zeta 函数与多重 q-Euler 多项式之间的直接联系。
• 推导出 E_n,q^(r)(x) 的分布关系：E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f)。
• 广义的狄利克雷型多重 q-Euler L-函数 l_q^(r)(s,x|χ) 满足 l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f)。
• 特殊值 l_q^(r)(−n,x|χ) = E_n,χ,q^(r)(x) 成立，将经典 L-函数与广义伯努利数之间的关系推广至 q-模拟情形。
• E_n,χ,q^(r)(x) 的闭式表达式为 E_n,χ,q^(r)(x) = [2]_q^r / (1−q)ⁿ × ∑_l=0ⁿ (n choose l) (−q^x)^l ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (χ(a₁)⋯χ(aᵣ)) (−q^l)^∑aᵢ / (1 + q^lf)^r。