[论文解读] Note on the Rainbow $k$-Connectivity of Regular Complete Bipartite Graphs

Xueliang Li, Yuefang Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2010

Interconnection Networks and Systems参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文通过证明当所有 $ r \geq 2k\lceil k/2 \rceil $ 且 $ k \geq 2 $ 时，$ r $-正则完全二分图 $ K_{r,r} $ 的彩虹 $ k $-连通性恰好为 3，解决了图论中的一个开放问题。作者通过使用结构化子图和基于奇偶性的边分配，构建了一种 3-边着色方案，确保任意顶点对之间存在 $ k $ 条内部不相交的彩虹路径，从而在该类图中确立了彩虹 $ k $-连通性的紧阈值。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph $G$, where adjacent edges may be colored the same, is called a rainbow path if no two edges of the path are colored the same. For a $\\kappa$-connected graph $G$ and an integer $k$ with $1\\leq k\\leq \\kappa$, the rainbow $k$-connectivity $rc_k(G)$ of $G$ is defined as the minimum integer $j$ for which there exists a $j$-edge-coloring of $G$ such that any two distinct vertices of $G$ are connected by $k$ internally disjoint rainbow paths. Denote by $K_{r,r}$ an $r$-regular complete bipartite graph. Chartrand et al. in "G. Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon, P. Zhang, The rainbow connectivity of a graph, Networks 54(2009), 75-81" left an open question of determining an integer $g(k)$ for which the rainbow $k$-connectivity of $K_{r,r}$ is 3 for every integer $r\\geq g(k)$. This short note is to solve this question by showing that $rc_k(K_{r,r})=3$ for every integer $r\\geq 2k\\lceil\\frac{k}{2}\ ceil$, where $k\\geq 2$ is a positive integer.

研究动机与目标

• 解决查特兰德等人提出的一个开放问题，即是否存在一个阈值 $ g(k) $，使得对所有 $ r \geq g(k) $ 都有 $ rc_k(K_{r,r}) = 3 $。
• 建立 $ r $-正则完全二分图中彩虹 $ k $-连通性保持为 3 的大小的紧上界。
• 提供一种构造性的 3-边着色方法，确保任意两个顶点之间存在 $ k $ 条内部不相交的彩虹路径。
• 将先前关于完全图和二分图中彩虹连通性的结果推广到更广泛的正则完全二分图类别。

提出的方法

• 定义 $ g(k) = 2k\lceil k/2 \rceil $ 为 $ r $ 的阈值，以确保 $ rc_k(K_{r,r}) = 3 $。
• 将 $ K_{r,r} $ 的顶点集 $ U $ 和 $ W $ 划分为 $ 2k $ 个簇，其中 $ U' $ 和 $ W' $ 为前 $ k_1 \cdot (2k) $ 个顶点，$ U \setminus U' $ 和 $ W \setminus W' $ 为剩余的 $ r_1 $ 个顶点。
• 构建三个边着色子图：$ G_1 $ 使用簇内基于奇偶性的边，$ G_2 $ 使用簇间的循环移位连接，$ G_3 $ 为剩余的边。
• 分别将颜色 1、2 和 3 分配给 $ G_1 $、$ G_2 $ 和 $ G_3 $，以确保边不相交且彩虹路径可行。
• 针对每对顶点，通过基于顶点位置（在 $ G' $ 中或外部）和簇索引奇偶性的案例分析，验证 $ k $ 条内部不相交彩虹路径的存在性。
• 利用 $ k_1 \geq k/2 $（当 $ k $ 为偶数时）或 $ k_1 \geq (k+1)/2 $（当 $ k $ 为奇数时）的事实，确保每个子情况中至少存在 $ 2k_1 \geq k $ 条路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ r $ 值，有 $ rc_k(K_{r,r}) = 3 $ 成立，其中 $ k \geq 2 $？
• RQ2 能否建立一个统一的阈值 $ g(k) $，使得对所有 $ r \geq g(k) $ 都有 $ rc_k(K_{r,r}) = 3 $？
• RQ3 哪些结构和着色约束能确保在正则完全二分图中存在 $ k $ 条内部不相交的彩虹路径？
• RQ4 基于奇偶性和循环移位的边着色构造如何保证彩虹连通性？

主要发现

• 对于所有整数 $ r \geq 2k\lceil k/2 \rceil $ 且 $ k \geq 2 $，$ K_{r,r} $ 的彩虹 $ k $-连通性恰好为 3。
• 阈值 $ g(k) = 2k\lceil k/2 \rceil $ 是紧的，因为当 $ r = 2 $ 且 $ k = 2 $ 时 $ rc_k(K_{r,r}) = 4 $，但当 $ r \geq 3 $ 时下降为 3。
• 对于 $ k \geq 4 $，所构造的 3-边着色确保任意两个顶点之间至少存在 $ k $ 条内部不相交的彩虹路径，无论其在图中的位置如何。
• 该方法对偶数 $ k $ 和奇数 $ k $ 均适用，构造方式根据 $ k $ 的奇偶性调整：当 $ k $ 为偶数时 $ g(k) = k^2 $，当 $ k $ 为奇数时 $ g(k) = k(k+1) $。
• 证明依赖于每个子情况中至少存在 $ 2k_1 \geq k $ 条路径，其中 $ k_1 \geq \lceil k/2 \rceil $，从而确保路径的多样性。
• 结果确认了对所有 $ r \geq 2k\lceil k/2 \rceil $，有 $ rc_k(K_{r,r}) = 3 $，从而解决了查特兰德等人提出的开放问题。